КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Локальный экстремумОпределение экстремума перенесем из функций одного переменного. Теорема. Если z=f(x;y) непрерывна в окрестности точки Мо. Дифференцируема там и имеет в точке Мо экстремум, то имеют место равенства . Доказательство. Пусть для определенности Мо – точка максимума. Тогда в любой окрестности этой точки справедливо f(x;y)< f(хо;уо). Это значит. Что дифференцируемая по х функция f(х;уо) удовлетворяет необходимым условиям существования экстремума, т.е. f’x(хо;уо)=0. Аналогичные рассуждения приведут ко второму равенству. Комментарий. Следует помнить, что условия теоремы не являются достаточными. Так функция z=x2-y2 удовлетворяет необходимым условиям наличия экстремума в точке (0;0), но там экстремума нет (см. раздел 6 т.к. эта поверхность – гиперболический параболоид), а есть минимакс. Теорема (достаточные условия существования экстремума). Пусть в -окрестности точки Мо функция z=f(x;y) имеет непрерывные до второго порядка включительно частные производные и выполняются необходимые условия наличия экстремума. Тогда при =( f’’xу)2- f’’xx f’’уу)<0 в точке Мо имеется экстремум; если >0 , то экстремума нет; если =0, то требуются дополнительные исследования. Док. Запишем формулу Тейлора для функции в окрестности Мо с точностью до R2 . f(M)=f(хо;уо)+ f’x(хо;уо)(х- хо)+f’у(хо;уо)(у- уо)+ +0,5(f’’xx(хо;уо)(х- хо)2+2 f’’xy(хо;уо)(х- хо)(x- yо)+ f’’yy(хо;уо)(y-yо)2)+ R2 . первые два слагаемые выпадают по необходимому условию. И тогда знак разности f(M)-f(хо;уо) определяется знаком трехчлена f’’xx(хо;уо)(х-хо)2+2f’’xy(хо;уо)(х-хо)(x-yо)+ f’’yy(хо;уо)(y-yо)2 Т.е. знаком величины (х-хо)2 (f’’xx(хо;уо)+2 f’’xy(хо;уо)t+ f’’yy(хо;уо)t2). Т.к. нам требуется гарантировать постоянство знака у разности f(M)-f(хо;уо), то это будет, если дискриминант трехчлена меньше нуля. Получаем требование для наличия экстремума =( f’’xу)2- f’’xx f’’уу)<0, что и требовалось . Если же знак положителен, то невозможно гарантировать постоянство знака разности f(M)-f(хо;уо), а это говорит об отсутствии экстремума. Если же =0. То исследование следует продолжить, т.к. все опирается теперь на слагаемые более высокого порядка в формуле Тейлора. Следствие. Если наличие экстремума обеспечено, то условие f’’уу<0 (или эквивалентное ему f’’xx<0) указывает тип экстремума – максимум. Если же f’’уу>0 (или эквивалентное ему f’’xx>0) , то тип экстремума – минимум. Как видим поиск локального экстремума весьма трудоемкая работа. Самое трудное – решение системы необходимых условий. Поэтому для поиска экстремумов используют приближенные численные методы (покоординатный, градиентный, случайный и др. методы спуска).
|