Уравнение энергии

Следуя закону сохранения энергии, составим баланс энергии для массы газа, заполняющей сначала объем 1 - 2, а через время dt объем 1' - 2' (рис. 3.3). Так как заштрихованный объем 1' - 2 y них общий, то приращение любого вида энергии равно разности энергии этого вида в бесконечно малых объемах 2 - 2' и 1 - 1'.

Приращение кинетической энергии

здесь и далее dM - массовый расход газа через поперечное сечение за время dt.

Приращение потенциальной энергии

где Z₂ и Z₁ – высоты расположения сечений 1и 2, g – ускорение силы тяжести.

Приращение внутренней (тепловой) энергии

где u=С_nT - внутренняя энергия единицы массы газа, равная произведению теплоемкости при постоянном давлении С_n на абсолютную температуру. Если С_n=const, то

При перемещении выделенного нами объема из состояния 1 - 2 в состояние 1' - 2' внешние силы совершают работу. Перенос газа из сечения 1 в 1' происходит как бы под действием поршня площадью F₁ c давлением Р₁.

Работа поршня за время dt равна

Здесь использованы следующие соотношения

F₁w₁=V₁ - объем, который вытесняет поршень за 1 с; м³/c;

n₁=V₁/M - удельный объем м³/кг;

М - массовый расход, кг/c;

r₁=1/n₁ плотность кг/м³;

dМ - масса, которую вытесняет поршень за время dt

Аналогично для сечения 2. За время dt газ переместит поршень в положение 2', произведя над внешней средой работу, которую будем считать отрицательной,

Таким образом, энергия, внесенная силами давления, равна разности между работами поршня 1 и 2:

К газовой струйке на участке 1 - 2 за время dt может быть подведено тепло в количестве dQ. Газовая струйка может произвести техническую работу dL, например, вращая колесо турбины, установленное между сечениями 1 и 2. Следует также учесть энергию, расходуемую на преодоление сил трения dL_тр. Согласно первому закону термодинамики, подведенные к газу тепловая энергия dQ и работа сил давления расходуются на совершение технической работы dL, работы сил трения dL_тр, а также на повышение запасов потенциальной, внутренней и кинетической энергии:

Разделив все члены полученного выражения на dМ, получим уравнение энергии, записанное для 1 кг массы газа

где q - тепло, подводимое к 1 кг газа; dL - работа, совершаемая 1 кг газа; dL_тр - работа по преодолению сил трения, приходящаяся на 1 кг газа.

Здесь и далее принято, что технической работе, совершаемой газом, например, в колесе турбины, присваивается знак плюс. Работе, совершаемой над газом, например, в ступени компрессора, присваивается знак минус.

Приток тепла q осуществляется двумя способами: извне (q_нар) - за счет теплообмена через боковую поверхность струйки или за счет выделения тепла в самой струйке в результате сгорания топлива и изнутри (q_тр) - за счет преобразования в тепло работы трения L_тр:

(3.14)

Очевидно, что

(3.15)

Согласно уравнению состояния газа PV=RT или P/r=RT, т.к. V=1/r.

В термодинамике широко используется энтальпия i, которая является функцией состояния газа

i=С_р Т,

где С_р - теплоемкость при постоянном давлении Дж/кгК, Т - абсолютная температура, К.

Энтальпия связана с внутренней энергией соотношением

(3.16)

В дифференциальной форме

Используя выражения (3.14 -3.15), можно уравнению энергии придать следующую форму

(3.17)

Из уравнения (3.17) следует, что тепло, подводимое извне к потоку газа, тратится на совершение технической работы L, увеличение потенциальной энергии g(Z₂–Z₁), увеличение кинетической энергии (w₂²-w₁²)/2 и увеличение энтальпии i₂-i₁.

В газовой динамике обычно измерение потенциальной энергии не учитывают, т.к. член g(Z₂–Z₁) пренебрежимо мал по сравнению с другими членами уравнения. Итак, окончательно уравнение энергии имеет вид

(3.18)