Дифференциальное уравнение теплопроводности. В основу вывода дифференциального уравнения теплопроводности положен закон сохранения энергии, который в рассматриваемом случае может быть сформулирован

В основу вывода дифференциального уравнения теплопроводности положен закон сохранения энергии, который в рассматриваемом случае может быть сформулирован следующим образом: количество теплоты , введенное в элементарный объем извне за время вследствие теплопроводности, а также от внутренних источников теплоты, равно изменению внутренней энергии вещества, содержащегося в элементарном объеме:

, (1.6)

где – количество теплоты, Дж, введенное в элементарный объем извне путем теплопроводности за время ; – количество теплоты, которое за время выделилось в элементарном объеме за счет внутренних источников; – изменение внутренней энергии содержащейся в элементарном объеме , за время .

Дифференциальное уравнение энергии

. (1.7)

В твердых телах перенос теплоты осуществляется по закону Фурье

.

Проекции вектора плотности теплового потока на координатные оси , , определяются выражениями

; ; .

Подставляя полученные выражения проекций вектора плотности теплового потока в уравнение (1.7), получим:

. (1.8)

Выражение (1.8) называется дифференциальным уравнением теплопроводности. Оно устанавливает связь между временным и пространственным изменениями температуры в любой точке тела, в котором происходит процесс теплопроводности.

Если принять, что теплофизические характеристики постоянны, то:

. (1.9)

В уравнении (1.9) можно обозначить:

и

где – выражение оператора Лапласа в декартовой системе координат; – коэффициент температуропроводности, являющийся мерой тепловой инерции вещества, .

Тогда

. (1.10)

Выражение в цилиндрической системе координат имеет вид:

,

где – радиус-вектор; – полярный угол; – аппликата.

Если система тел не содержит внутренних источников тепла ( ), тогда уравнение (1.10) принимает форму уравнения Фурье:

. (1.11)

Уравнение теплопроводности для стационарного режима, но с внутренним источником тепла превращается в уравнение Пуассона:

. (1.12)

При стационарной теплопроводности и отсутствии внутренних источников теплоты уравнение (1.9) примет вид уравнения Лапласа:

. (1.13)