Теплопроводность при стационарном режиме

При установившемся или стационарном тепловом режиме температура тела во времени остается постоянной, т.е. .

При этом дифференциальное уравнение теплопроводности будет иметь вид:

. (1.20)

Если, то

. (1.21)

1.4.1. Передача теплоты через плоскую стенку ( )

Рассмотрим однородную стенку толщиной (см. рис.1.5), коэффициент теплопроводности постоянен, на наружных поверхностях стенки поддерживается постоянные температуры и .

Рис.1.5. Однородная плоская стенка

При заданных условиях температура будет изменяться только в направлении, перпендикулярном плоскости стенки, т.е. в направлении оси . А в направлении и температура будет постоянной.

. (а)

Таким образом, уравнение теплопроводности примет вид:

. (1.22)

Граничные условия будут следующими

(б)

Уравнение (а) и условие (б) дают полную математическую формулировку рассматриваемой задачи.

Закон распределения температуры по толщине найдется в результате двойного интегрирования уравнения (1.22).

Первое интегрирование даст:

. (1.23)

После второго интегрирования получим:

, (1.24)

Т.е. температура изменяется по линейному закону.

Используя граничные условия, найдем постоянные интегрирования:

при и

при и

Таким образом, получаем:

. (1.25)

1.4.2. Передача теплоты через многослойную стенку, состоящую из n однородных слоев

Допустим, что контакт между слоями совершенный и температура на соприкасающихся поверхностях двух слоев одинакова.

При стационарном режиме плотность теплового потока постоянна и для всех слоев одинакова .

При заданных температурах на внешних поверхностях такой стенки, размер слоев и соответствующих коэффициентов теплопроводности можно составить систему уравнений:

(а)

Сделав преобразования и сложив эти уравнения, получим:

.

Отсюда плотность теплового потока определится:

. (1.31)

Величина есть сумма термических сопротивлений всех слоев, и называется полным термическим сопротивлением теплопроводности многослойной стенки.

Определив по формуле (1.31) и воспользовавшись системой уравнений (а) можно вычислить температуры на границах соприкосновения двух соседних слоев:

(1.33)