Условия однозначности для процессов теплопроводности

Полученное дифференциальное уравнение теплопроводности описывает целый класс соответствующих явлений. Чтобы выделить конкретно рассматриваемый процесс и дать его полное математическое описание, к дифференциальному уравнению необходимо присоединить математическое описание всех частных особенностей рассматриваемого процесса.

Эти частные особенности, которые совместно с дифференциальным уравнением дают полное математическое описание конкретного процесса теплопроводности, называются условиями однозначности или краевыми условиями.

Условия однозначности включают в себя:

1. геометрические условия, характеризующие форму и размеры тела, в котором протекает процесс;

2. физические условия, характеризующие физические свойства среды;

3. временные (начальные) условия, характеризующие распределение температуры в изучаемом теле в начальный момент времени;

4. граничные условия, характеризующие взаимодействие рассматриваемого тела с окружающей средой.

Существует четыре типа граничных условий:

1. Граничное условие первого рода.

При этом задается распределение температуры на поверхности тела для каждого момента времени:

, (1.14)

где – температура на поверхности тела; – координаты поверхности тела.

Простейший случай .

2. Граничное условие второго рода.

При этом задается значение теплового потока для каждой точки поверхности тела и любого момента времени:

, (1.15)

где – плотность теплового потока на поверхности тела.

Простейший случай .

3. Граничное условие третьего рода.

При этом задается температура окружающей среды и закон теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой. Для описания процесса теплообмена между поверхностью тела и средой используется закон Ньютона-Рихмана.

Согласно этому закону количество теплоты, отдаваемое единицей поверхности тела в единицу времени, пропорционально разности температур поверхности тела и окружающей среды ( ):

, (1.16)

где – коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом теплоотдачи, Вт/(м²·°C).

Коэффициент теплоотдачи характеризует интенсивность теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой. Численно он равен количеству теплоты, отдаваемому (или воспринимаемому) единицей поверхности в единицу времени при разности температур между поверхностью тела и окружающей средой, равной одному градусу.

Согласно закону сохранения энергии количество теплоты, которое отводится с единицы поверхности в единицу времени вследствие теплоотдачи, должно равняться теплоте, подводимой к единице поверхности в единицу времени вследствие теплопроводности из внутренних объемов тела, т.е.

, (1.17)

где – нормаль к поверхности тела; индекс «с» указывает на то, что температура и градиент относятся к поверхности тела (при ).

Окончательно граничное условие третьего рода можно записать в виде:

. (1.18)

4. Граничное условие четвертого рода.

Это условие характеризует условие теплообмена системы тел или тела с окружающей средой по закону теплопроводности. Предполагается, что между телами осуществляется идеальный контакт (температуры соприкасающихся поверхностей одинаковы).

В рассматриваемых условиях имеет место равенство тепловых потоков, проходящих через поверхность соприкосновения (см. рис. 1.4):

. (1.19)

В задачах с граничными условиями четвертого рода задается отношение тангенсов угла наклона касательных к температурным кривым в точке соприкосновения тел или тела и среды.

Рис.1.4. Граничное условие четвертого рода

Дифференциальное уравнение теплопроводности совместно с условиями однозначности дают полную математическую формулировку конкретной тепловой задачи. Поставленная таким образом задача разрешается аналитическим, численным или экспериментальным методами.