Охлаждение (нагревание) неограниченной пластины

Рассмотрим плоскую пластину толщиной (см. рис. 1.16). Заданы теплофизические параметры пластины: , , и . Если толщина пластины мала по сравнению с длиной и шириной, то такую пластину обычно считают неограниченной. При заданных граничных условиях коэффициент теплоотдачи одинаков для всех точек поверхности пластины. Изменение температуры происходит только в одном направлении , в двух других направлениях температура не изменяется , следовательно, в пространстве задача является одномерной. В начальный момент времени пластина имеет по всему сечению одинаковую температуру . Охлаждение происходит в среде с постоянной температурой . На обеих поверхностях отвод тепла осуществляется при постоянном во времени коэффициенте теплоотдачи. Отсчет температуры пластины для любого момента времени будем вести от температуры окружающей среды, т.е. . Так как задача в пространстве одномерная, то дифференциальное уравнение примет вид:

. (1.124)

Рис. 1.16. Охлаждение неограниченной
пластины

Для переменной начальные условия примут вид:

. (1.125)

При заданных условиях охлаждения задача становится симметричной и начало координат удобно поместить на оси пластины, как показано на рис 1.16.

При этом

при . (1.126)

Из симметрии температуры следует, что

при . (1.127)

Таким образом, достаточно определить температуру для одной половины, например для правой, а в левой половине воспользоваться условием (1.126) в тот же момент времени.

Граничное условие на поверхности пластины при запишется

при . (1.128)

Решением дифференциального уравнения (1.124) с учетом начальных и граничных условий будет

здесь:

. (1.143)

Характеристическое уравнение (1.143) имеет бесконечное множество решений , , … , , … (см рис. 1.17).

Рис. 1.17. К решению уравнения (1.143)

. (1.150)

Иногда бывает удобно уравнение (1.150) записать в безразмерном виде:

, (1.151)

где ; ; – число Фурье, представляющее собой безразмерное время.