Анализ полученного решения

Так как , , , …, , представляют собой ряд возрастающих чисел, то чем больше , тем меньше роль последующего члена ряда по сравнению с предыдущим. Кроме того, чем больше число , тем члены ряда будут убывать быстрее с увеличением номера .

Численные расчеты показали, что уже при ряд становится настолько быстро сходящим, что распределение температуры достаточно точно описывается первым членом ряда:

. (1.152)

В условиях охлаждения пластины (при ) для любого момента времени при заданных граничных условиях поле температуры имеет вид симметричной кривой с максимумом на оси пластины ( ). Для каждого последующего момента времени будет своя кривая, монотонно убывающая к поверхности пластины. При этом для любого момента времени касательные к кривым в точках проходит через две направляющие точки и , расположенных на расстоянии от поверхности пластины, (см. рис. 1.18).

Для доказательства этого важного свойства рассмотрим температурное поле для произвольного момента времени .

Умножив граничные условие на , получим

. (1.153)

В безразмерном выражение (1.153) запишется

. (1.154)

Из рис. 1.18 следует, что

. (1.155)

Рис.1.18. Изменение температурного поля в плоской
неограниченной стенке при ее охлаждении

Сравнивая выражения (1.154) и (1.155), получаем:

. (1.156)

Из уравнения (1.156) следует, что расстояние от точки до поверхности пластины определяется заданными условиями однозначности, которые справедливы для любого момента времени. Следовательно, касательные ко всем температурным кривым в точке пересечения с поверхностью пластины и неизменных граничных условиях всегда будут проходить через т. . Этот вывод справедлив и для тел других геометрических форм.

При (практически при ) . Данный режим охлаждения реализуется при . Граничное условие третьего рода вырождается в граничное условие первого рода. Тогда распределение температур будет таким, как это показано на рис.1.19.

Рис. 1.19. Распределение температуры в
плоской стенке при ее охлаждении
в условиях

При (практически при ) . Малые значения числа могут иметь место при малых размерах толщины пластины при больших и малых . При малых температура на поверхности пластины незначительно отличается от температуры на оси. Это указывает на то, что температура по толщине распределяется равномерно и кривая температур остается практически параллельной оси для любого момента времени (см. рис. 1.20). На рисунках 1.19 и 1.20 .

Когда число находится в пределах , есть некоторая конечная величина (см. рис. 1.18).

Рис.1.20. Распределение температуры в плоской
стенке при ее охлаждении в
условиях