Случай тяжелой покоящейся жидкости). Закон Паскаля

Представим на рис. 7 закрытый сосуд, в котором находится жидкость. Обозначим через р₀ поверхностное давление (интенсивность давления на свободную поверхность жидкости). Возьмем оси координат, как показано на чертеже, и наметим точку т, у которой выделим единицу массы тяжелой жидкости. К этой единице массы приложена объемная сила ф.

В случае, когда объемными силами, действующими на жидкость, являются только силы тяжести, имеем:

ф_х = 0, ф_у = 0, ф_z = —g, [34]

где g — ускорение силы тяжести; ф_х, ф_у, ф_z — проекции силы ф на оси координат.

Величина dp выражается зависимостью [24] (dp = ρdV),

где dV = f_xdx+ ф_уdy + ф_zdz. [ 25] dV в нашем случае будет равно

dV = ф_х dx+ ф_у dy + ф_zdz = —g dz. [35]

Подставляя [35] в [24], получаем:

dp = —pgdz. [36]

Интегрируя [36], имеем:

р = -pgz + С, [37]

p = -γz+C, [38]

где С — постоянная интегрирования.

Для определения С рассмотрим точку на поверхности жидкости (где z = 0 и п = р₀), тогда согласно[37], для этой точки

С = р₀; [39]

в результате имеем:

Р = Ро - γz [40]

Обозначим через h заглубление точки т под свободной поверхностью жид­кости:

h = - z; [41]

тогда [40] окончательно можно переписать в виде:

Р = Ро + [42]

где р является абсолютным давлением в рассматриваемой точке, р₀ — поверхностное давление. Величина

γh= р' (обозначение) [43]

может быть названа весовым давлением: как видно, р' представляет собой ту часть абсолютного давления р, которая обусловлена весом самой жидкости.

Из рассмотрения [43] заключаем, что абсолютное давление в точке равно сумме поверхностного давлении и весового давления.

Из [42] также ясно, что на сколько увеличивается поверхностное давле­ние р₀, на столько же должно увеличиться и абсолютное давление в данной точке (закон Паскаля).

Если сосуд открыт, то

Р_о = Р_а,

где р_а — атмосферное давление; при этом вместо [42] имеем:

Р = Р_а + yh. [44]

Назовем избыточным давлением величину превышения аб­солютного давления в точке над атмосферным давлением, т. е. величину (р — р_а). Эту величину также иногда называют манометрическим давле­нием.

В практике главным образом приходится сталкиваться не с абсолютным давлением, а с избыточным давлением. Имея это в виду, в дальнейшем будем применять следующие обозначения: 1) для избыточного давления р; 2) для аб­солютного давления р_А.

В соответствии с такого рода изменением обозначений имеем:

р = Р_а - Р_а, [45]

причем расчетная формула [42] принимает вид:

а) в случае з а крытого сосуда P_А = P_o + γh = P_o+P^/ =P_a+P; [46]

б) для открытого сосуда P_А = P_а + γh = P_а+P^/ =P_a+P; [46a]

откуда видно, что для открытого сосуда понятия весового и избыточного давлений совпадают:

р = р' = γh; [47]

для закрытого же сосуда давления р и р' имеют разную величину:

Р = Р' + (Р_о - Р_а). [48]

Как видно, всего имеем пять различных давлений, обозначаемых через Р_А, Р, Р', Р₀ и Р_а.

Говоря далее о с и л е гидростатического давления Р, будем различать:

1) силу абсолютного гидростатического давления Р_А;

2) силу избыточного гидростатического давления (с в е р х а т -
мосферного) Р. Последнюю далее часто будем именовать просто си­
лой гидростатического давления Р, опуская слово «избы­
точного».