Семантика логики предикатов.

Семантику языка, как мы видели при анализеестественного языка, составляет совокупность предметных значений и смысловыхсодержаний его выражений. Но в данном случае, поскольку речь идет не об анализеуже имеющегося языка, а о построении — вданном случае логического формализованного языка —то семантикой называютсовокупность правил приписываниязначений выражениям этого языка. Точнее говоря, здесь даже не ставится задачапостроения какого-то определенного языка. Создается лишь некоторая схема языкаопределенного типа, в данном случае так называемой классической логикипредикатов первого порядка. Этот тип языка отличается от языков других типов,даже языков с тем же синтаксисом (например, языка интуиционистской логикипредикатов, определенной системы релевантной логики) своей семантикой.Приписывание значений отдельным выражениям языка, составляющим дескриптивнымтерминам, употребляемым при построении формул, осуществляется лишь в составетех или иных формул и при этом различно от случая к случаю в зависимости отхарактера решаемых логических задач, (например, при переводе каких товысказываний с естественного языка на данный формализованный, при анализелогических отношений между формулами данного языка, при аксиоматизациинекоторых теорий, а именно при формулировке их аксиом в языке данного типа).Совокупность всех правил приписывания значений выражениям языка разбивается наследующие три группы (I,II,III).

I. Правила определения (задания) возможных значенийпредметных переменных и правила приписывания предметных значений дескриптивнымпостоянным в составе рассматриваемых в том или ином случае формул—интерпретациявыражений языка. II. Правила приписывания значений свободным переменным всоставе тех или иных рассматриваемых формулу. III. Правила приписыванияистинностных значений интерпретированным формулам, не содержащим свободныхпеременных. I. Интерпретация состоит,во-первых, в выборе некоторого непустого множества D индивидов, предметов того или иного типа, к которыммогут относиться образуемые из тех или иных формул языка высказывания. Индивиды— любые предметы в широком смысле этого слова, структура которых неучитывается, и которые можно отличать друг от друга. В качестве такой области D можно взять множество людей, растений, городов, чисели т. д.; возможно, также объединение в одной области множеств различныхпредметов, например, людей, городов, домов (положим, для выражения высказыванийо местах жительства людей). Но приэтом все различные предметы, рассматриваются именно как индивиды. Область D— это область возможных значений предметных переменных символы предметныхпеременных х, у, z, становятся именно переменнымилишь при указании области их возможных значений. Предполагается, что на областиD определено некоторое множество свойств, отношений ихарактеристик предметно-функционального типа (то есть возможных значений предикаторов и предметных функторов).

Второй момент интерпретации языка состоит в задании некоторой функции j

(интерпретационная функция) приписываниязначений дескриптивным постоянным (предметным константам, предикаторам,предметным функторам опять-таки в составе рассматриваемых формул). Задание j

в каждом конкретном случае представляет собойпросто указание на то, какие значения должны быть приписаны упомянутым исходнымсимволам языка в составе рассматриваемых формул. При этом предметным константам(простые постоянные термы) приписываются в качестве предметных значенийопределенные предметы из заданной области D. Предикатному (n-местному) символу P¸ⁿ при n =1 вкачестве значения приписываются некоторые свойства а при n > 1 — n-местноеотношение (между предметами В). Например, если область D есть множество целых положительных чисел, топредикатному символу P¹₁ можно приписать в качестве значения свойство«четно», а предикатору P²₁ отношение «больше» или «меньше». Предметномуфунктору fⁿ₁ в качествепредметного значения функция j

приписывает какую-нибудь n-местную предметную функцию, определенную на области D.Например, для области чисел таковыми могут быть синус, косинус (одноместныефункции), сумма, произведение (двухместные функции), для области людей —одноместные (возраст, рост), для области материальных тел — объем, удельныйвес.

Значения сложных термов, каковыми являются такжепредметы из области D, и приписывание которых составляет ихинтерпретацию, вычисляются в зависимости от приписанных уже значений их простымсоставляющим — предметным константам, предметным функторам, а также и возможнымпредметным переменным, значения которых приписываются по правилам II.Вычисление происходит в соответствии с правилами построения сложного терма.Сложные термы образуются, как мы видели, с применением предметных функторов истроятся индуктивно. Значение такого терма вычисляется последовательно всоответствии с порядком его построения.

Пример. Имеем терм f²₁(f²₁(a₁ , a₂), f²₂(a₁, a₃)).

Пусть область D — целые положительные числа, a₁ есть число 3, a₂ =4, a₃ = 5, f²₁ —сумма, f²₂ — произведение.

Тогда

f²₁(a₁, a₂)=7;

f²₂(a₁,a₃)=15;

f²₁(f²₁(a₁, a₂), f²₂(a₁,a₃))=22.

II. Свободным переменным в той или иной формуле (а темсамым и в составе термов этой формулы) в качестве значений приписывают, такжекак и постоянным термам, предметы из области D. Такие приписывания осуществляютсякогда мы хотим получить из интерпретированной формулы со свободными переменнымивысказывание нашего языка. Приписывание осуществляют заменой каждого вхождениянекоторой свободной переменной какой-либо предметной константой с одновременнойинтерпретацией таковой, если она еще не была интерпретирована в формуле.

Будем говорить, что при осуществлении этихприписываний в добавление к уже имеющейся интерпретации формулы, формулаоказывается полностью интерпретированной.

Однако важно заметить, что формулы со свободнымипеременными нужны не только для образования высказываний из них. Онипредставляют собой особые высказывательные формы, называемые предикатами. Этосложные знаковые формы возможных свойств предметов заданной области и возможныхотношений среди этих предметов. По типу их предметных значений они должны бытьотнесены к категории предакаторов. Можно назвать их сложными предикаторами (вотличие от простых, указанных среди исходных символов). Надо отметить, что этиформы не выделяются и даже не замечаются в естественных языках. Они играют,однако, решающую роль в теории понятия. Имея тот или иной предикат, можноставить вопрос, для каких предметов, которые могут представлять свободныепеременные, этот предикат выполняется или не выполняется. В таком случае мыпросто указываем предметы для соответствующих переменных (не осуществляяуказанных подстановок предметных констант вместо них). Например, можно сказать,что предикат «(Р2(x, a₁)> ∃yQ2(x, y))», —выражающий свойство какого-то числа х из области натуральных чисел,состоящее в том, что «если это число больше 5 (знаками отношения «больше» и «5»является соответственно Р2 и a₁ тооно делится без остатка (Q2) на некоторое число у»,выполняется для чисел 6, 8, 9 и т. д., но не выполняется для 7, 11 и др.

III. Приписывание истинностных значений полностьюинтерпретированным формулам.

Напомним, чтополностью интерпретированная формула — это формула, в которой осуществленаинтерпретация дескриптивных постоянных и приписано значение всем свободным переменным,если таковые имеются в ней. Каждая такая формула представляет собойопределенное высказывание — с определенным смыслом и истинностным значением —но лишь при условии, если нам известны значения встречающихся в ней — явным илинеявным образом — логических констант, (которые и определяются рассматриваемымиправилами III). Явным образом указываются — в сложных формулах — логическиеконстанты, перечисленные в списке исходных символов. Простые атомарные формулывидов Pⁿ (t₁, …,tn) по-видимому, не содержат логических констант. Однако, неявным образомздесь присутствует логическое отношение принадлежности свойства Р некоторомупредмету t при n= 1 или о наличииотношения Pⁿ междупредметами t₁, …,tn из области D.

Определение значений всех логических терминов, какявно обозначенных, так и неявно содержащихся в формулах, осуществляется как разпосредством правил приписывания истинностных значений полностьюинтерпретированным формулам нашего языка (строго говоря, мы имеем здесь такназываемое неявное определение логических констант, но они достаточны дляпонимания того, какой именно смысл они придают нашим высказываниям).

Правила эти таковы. Значение простого (атомарного)высказывания Pⁿ (t₁, …,tn), n >= 1,определяется в зависимости от заданных значений термов t₁, …,tn ипредикатора Pⁿ . Оно зависитот характера предметов данной предметной области. Положим, имеем формулу: P²(f¹₁ (a₁),f¹₁(a₂)). Предположим, что согласно заданной интерпретации D— множество людей: Р2 означает «больше»: f¹₁ «возраст»: a₁ — Петров, a₂ — Сидоров. Вся формула представляет собойвысказывание «Возраст Петрова больше, чем возраст Сидорова». Высказываниеистинно или ложно в зависимости от того, имеет или не имеет место данноеотношение между возрастами Петрова и Сидорова.

Заметим, что в части лексики мы перевели здесьвысказывание, полученное из определенной формулы рассматриваемого языка (ЯКЛП),по существу на обычный естественный русский язык. В самом ЯКЛП знаковой формойего является упомянутая формула. Подобные переводы обычно напрашиваются самисобой в силу того, что задание значений отдельных терминов — составляющихформулу — осуществляется посредством выражений естественного языка. Мы говорим«значение Р2 — больше, a₁ и a₂ —соответственно Сидоров и Петров» и т. п.). Это значит, что приписываниепредметных значений выражениям описываемого языка осуществляется методомперевода их в тот или иной естественный язык. Может показаться, что приупомянутых переводах высказываний данного языка на естественный теряется тасамая точность их выражений, ради достижения которой как раз и строятсяформализованные языки. Однако точность здесь по сравнению с естественнымиязыками достигается не за счет более точною употребления отдельных терминов, —достаточная точность их уже должна быть обеспечена при осуществленииинтерпретации выражений формализованного языка — а за счет определенных,стандартных способов построения высказываний и их логических форм. И она именносохраняется, или точнее сказать, должна сохраняться при указанных переводах.

Для сложных формул имеем, предполагая, что всесоставляющие их формулы полностью интерпретированы.

Формула вида А & В имеет значение «истина» — приданной интерпретации и приписывании значений свободным переменным — е. т. е. Аимеет значение И и В имеет значение И.

Формула A v В — истина е. т. е. значение А равно И или значение Вравно И.

Формуле вида А ⊃ В приписывается значение И е. т. е. А имеет значениеЛ или В имеет значение И.

Значением формулвида А является Ие.т.е. значение А есть Л.

Формула вида ∀х А(х) имеет значение «истина» е. т. е. для всякого предметаа(i) из D, А(а(i)) — истина (А(а(i)) — результат замещения всех свободных вхождений хв А(х) константой а(i)¹).

Формула вида ∃ х А(х) имеет значение истина е. т. е. существует предмет а вобласти D такой, что истинна формула A(a(i)).

Если значение некоторой формулы не является И, то онаимеет значение Л, но никакая формула не имеет одновременно значения И и Л.

Как уже говорилось, правила приписывания истинностныхзначений полностью интерпретированным формулам неявным образом определяют такжезначения логических констант «&», «v», «⊃ », «» и кванторов ∀ и ∃ и вместе стем и смыслы высказываний, образованных посредством соответствующих констант.Например, высказывания вида ∀х А(х) , ∃ х А(х) ,относящиеся к некоторой области индивидов D,мы должны понимать, соответственно, как «для всякого предмета х из Dверно А(х}» и «существует предмет х в D такой, что верно А(х)».Нетрудно видеть, что &, v, ⊃ , , представляют собой здесь логические связки — знакифункций истинности, — определенные ранее в разделе «Логика высказываний», нотеперь применительно к формулам ЯЛП.

Примеры

Определим значение формулы —

∀x((P²(x, a₁)& P²((x, a₂))⊃ P²(x,y))

при условии, что область возможных значений переменныхD есть множество целых положительных чисел, константам a₁ и a₂ приписаны соответственно числа 2 и 3, свободнойпеременной у — значение 6; предикатный символ Р2 имеет вкачестве значения отношения «делится». Ясно, что при указанной интерпретацииданная формула выражает определенное высказывание: в переводе на русский язык,«Для всякого целого положительного числа х верно, что если оно делитсяна 2 и на 3, то оно делится на 6». Ясно, что это высказывание и соответственнонаша формула истинны. Рассмотрим формулу ∀x ∃y P²(y,x). Если D — множество людей, Р2 —отец, то она представляет собой высказывание «Для всякого человека хсуществует человек у такой, что он является отцом первого».

Как уже сказано, полностью интерпретированные формулыязыка при учете правил III представляют собой высказывания этого языка, аинтерпретированные формулы со свободными переменными — предикаты (знаковыеформы сложных свойств и отношений соответствующей области предметов D).Неинтерпретированные формулы, не содержащие свободных переменных, — сутьлогические формы высказываний, а со свободными переменными — логические формыпредикатов. Однако предикаты могут трактоваться и трактуются в процессахвыводов и доказательств, а также в определении отношения логическою следованияи законов логики как специфические высказывания с какими-то подразумеваемымизначениями переменных, как это делается, например, в записи математическихуравнений.

Возможность различных истолкований формул сосвободными переменными указывает на существование различных истолкований или,как говорят, различных интерпретаций самих свободных переменных в формулах.Вообще различают три возможных интерпретации свободных переменных в составеформул ЯКЛП.

1) Предикатная интерпретация. Она означает, чтосвободные переменные в формуле рассматриваются как знаки пустых мест впредикате, на которые могут подставляться имена предметов из заданной области Dдля образования высказываний из предикатов.

2) Условная интерпретация. 3) Интерпретациявсеобщности.

При второй и третьей интерпретации свободныхпеременных формула, содержащая эти переменные, трактуется как высказывание илилогические формы таковых (в зависимости от того, являются ониинтерпретированными или нет). При условной интерпретации некоторой переменной внем эта переменная рассматривается как знак какого-то — одного и того же вовсех своих вхождениях — предмета из области D. А при интерпретации всеобщностикакой-либо переменной она рассматривается как знак любого предметы из области D,но одного и того же во всех своих вхождениях в формулу. Иначе говоря,высказывание со свободными переменными равносильно высказыванию, котороеполучается из данного посредством связывания всех его свободных переменных,взятых в условной интерпретации, квантором существования, а переменных, рассматриваемыхв интерпретации всеобщности, квантором общности. В предыдущем описаниисемантики мы подразумеваем предикатную интерпретацию свободных переменных. Авысказывание, получаемое из предиката, — как результат применения этогопредиката к предметам, имена которых подставляются вместо свободных переменных.Однако в дальнейшем, например при анализе понятия следования, формулы сосвободными переменными трактуются как высказывания с условной интерпретациейэтих переменных.

Подчеркнем еще раз значение интерпретации(совокупность правил I). При наличии правил III, то есть при заданном пониманиилогических констант, определяющих тип языка, различные интерпретации порождаютиз заданной синтаксической системы фактически различные языки данного типа (вкоторых используется каждый раз лишь какая-то часть исходных дескриптивныхсимволов).

В заключение данного раздела, касающегося семантикиязыка, важно заметить, что хотя правила приписывания значений выражениям языка,составляющих в совокупности эту семантику, ориентированы на приписываниезначений в каких-то конкретных случаях, их основное значение состоит в том, чтоони указывают общие принципы, общие способы превращения формул языка восмысленные выражения. При таком истолковании указанных правил семантикапредставляет собой теорию означивания выражений данного языка (которую называюттакже теорией референции).

Данные выше разъяснения относительно тех смыслов,которые формулы получают при интерпретации, указывают на принципы переводавысказываний языка логики предикатов на естественный язык. Однако в них можноусмотреть решение и обратной задачи — перевод с естественного на язык логикипредикатов, хотя здесь требуются и определенные дополнительные разъяснения.Прежде всего они связаны с отсутствием в формулах ЯЛП общих имен. Общие именаздесь используются только для характеристики задаваемой каждый раз привыражении некоторого высказывания области D значений предметных переменных. Всоставе самих формул общие имена — в предложениях обычного языка — заменяютсяпредикаторами. Так, предложение «Все студенты пединститута готовятся статьпреподавателями» может быть переведено на язык логики предикатов двояко взависимости от выбора значений переменных. Мы можем взять в качестве таковой«множество студентов пединститута». Обозначив тогда через P1 свойство«готовятся стать преподавателями», получим «∀x P'(x)». С учетом заданной области это должно бытьпрочитано как «всякий студент пединститута х готовится статьпреподавателем». Для более полного выражения смысла высказывания можем взять вкачестве области «студенты» вообще, а общее имя «студент пединститута»истолковать как предикатор, взяв для него, например, знак (предикатор) S1получим ∀x (S1(x) ⊃ P1(x). Предложение звучит теперь так: «Для всякого студента х верно, что еслион учится в пединституте, то он готовится стать преподавателем». Высказывание«Некоторые студенты пединститута готовятся стать преподавателями» при том жевыборе области D и предикаторов запишется в виде ∃x(S(x)&P(x))

Обратите внимание, когда высказывание предваряетквантор общности (то есть исходное высказывание является общим), то далееиспользуется логическая связка ⊃; в случае,когда таковым является квантор существования (высказывание является частным),то для его записи на ЯЛП употребляется связка &.

Для полной записи предложения «Во всяком государствеимеется город, который является его столицей» напрашивается необходимостьввести предикаторы: государство с аргументом — х (возьмем дляобозначения из исходных символов предикатор P1), город с аргументом —у (обозначим его Q), принадлежит — город у государству х(обозначим R2) и столица— город y государства х (обозначение S2). В таком случаевозникает трудность с характеристикой области значений переменных х, у.Можно считать, что таковой является множество населенных людьми территорий.Взяв в качестве области D множествотаких территорий и используя указанные предикаторы, получим запись нашегосуждения в ЯЛП:∀x(P(x) ⊃ (∃y(Q(y)&R(y, x)&S(y, x))). Буквальное произнесение его таково: «Длявсякой населенной территории х верно, что если х естьгосударство, то существует населенная территория у, такая, что у— город и у принадлежит государству х, а у есть столица х.

Как мы видели, высказывания естественного языка,подлежащие переводу на ЯЛП, определенным образом стандартизируются, четковыделяются части высказывания: классы или отдельные предметы, о которых нечтоутверждается (или отрицается). Если это классы, то выясняется, ко всемпредметам класса или лишь к части их относится утверждение или отрицание (соответственноупотребляются кванторы общности ∀или существования ∃). И наконец, определяется то, что именно ввысказывании утверждается (или отрицается). Примеры таких стандартизациивысказываний естественного языка, осуществленные еще до записи их на ЯЛП, читательможет найти в самом начале данного параграфа.

ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ, или: Функциональная логика, теория квантификации, кванторная логика,

- основ­ной раздел современной (математической, символической) логики,в котором описываются выводы, учитывающие внутреннюю (субъектно-предикатную) структуру высказываний. Л. п. является расши­ренным вариантом логики высказываний.

Билет 20

Законы логики предикатов

Билет № 21

Понятие. Основные виды понятий.(стр. 207 – 223)