УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ ОШИБОЧНОЕ

в логике такое умозаключение, из которого получается ложный вывод (ненамеренно), хотя посылки могут быть истинными. Намеренно ошибочное умозаключение называется софизмом. рассуждение, кажущееся правильным, но содержащее скрытую логическую ошибку и служащее для придания видимости истинности ложному утверждению. С. является особым приемом интеллектуального мошенничества, попыткой выдать ложь за истину и тем самым ввести в заблуждение. Отсюда "софист" в одиозном значении - это человек, готовый с помощью любых, в том числе недозволенных, приемов отстаивать свои убеждения, не считаясь с тем, истинны они на самом деле или нет.

"Сидящий встал; кто встал, тот стоит; следовательно, сидящий стоит"

Билет16

УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ НЕПРЯМЫЕ– умозаключения, которые получаются путем преобразования других умозаключений. Они имеют сложную структуру и иногда (по аналогии с метаязыком, представляющим собой язык, на котором говорят о другом языке) их называют «метаумозаключениями», имея в виду, что это умозаключения об умозаключениях.

Непрямые умозаключения используют в том случае, когда в ходе некоторого основного рассуждения строятся другие рассуждения, носящие вспомогательный характер. Отсюда непрямой способ аргументации представляет собой прием, позволяющий сделать вывод об осуществлении некоторого основного рассуждения при осуществлении одного или нескольких вспомогательных утверждений, то есть это переход следующего типа (обозначая заглавными греческими буквами G, D с индексами множества высказываний, а строчными латинскими буквами А, В с индексами – отдельные высказывания):

Из D₁ выводимо В₁

Из D₂ выводимо В₂

.

.

.

Из D_n выводимо В_n

Из G₁ выводимо А

Различают следующие виды непрямых способов аргументации:

рассуждение по правилу дедукции,

рассуждение от противного,

рассуждение сведением к абсурду,

рассуждение разбором случаев.

Рассуждение по правилу дедукции используется в том случае, когда целью основного рассуждения является обоснование посредством некоторого множества аргументов G такого тезиса, который представляет собой высказывание типа A ® B (т.е. сложное высказывание «если А, то В», где А, В – простые высказывания). Если мы не знаем как это сделать, то поступаем следующим образом: принимаем в качестве допущения высказывание А, а затем пытаемся вывести из Г и А высказывание В. Если указанная задача разрешима, то мы заключаем, что основной тезис A ® B обоснован посредством Г.

Метод непрямого рассуждения по правилу дедукции имеет, таким образом, следующую структуру:

Из Г и А выведено В

Из Г выведено A ® B

В качестве примера использования данного непрямого способа аргументации, можно привести следующее содержательное рассуждение:

«Докажем, что если число оканчивается на 0 и сумма его цифр кратна 5, то это число кратно 15. Допустим, что данное число оканчивается на 0 и сумма его цифр кратна 3. Известно, что если число оканчивается на 0, то оно кратно 5. Поэтому наше число кратно 5, ведь, согласно допущению, оно оканчивается на 0. Известно также, что если сумма цифр числа кратна 3, то и само это число кратно 3. Итак, наше число кратно 5 и 3. Но если число кратно 5 и 3, то оно кратно 15. Следовательно, наше число кратно 15. Таким образом, если число оканчивается на 0 и сумма его цифр кратна 3, то это число кратно 15».

Рассуждение от противного состоит в следующем: для обоснования некоторого тезиса А из множества аргументов Г строится вспомогательное рассуждение, принимая в качестве допущения А («неверно, что А») и стремясь вывести из Г и А противоречие. Если это удается, то отсюда заключают, что тезис А обоснован посредством аргументов Г. Таким образом, данный непрямой способ аргументации имеет следующую структуру:

Из Г и А выведено противоречие

Из Г выведено A

Проиллюстрируем применение метода рассуждения от противного с помощью рассуждения следователя:

«Судя по всему, подозреваемый невиновен. Однако предположим на минуту обратное. Пусть подозреваемый виновен. Тогда 23 июля 2003 года он должен был быть на месте преступления в Москве. Однако свидетель показывает, что подозреваемый был вечером этого дня в Париже. Учитывая трудности пересечения границы, вряд ли он смог добраться до Парижа за два часа. Следовательно, он не был 23 июля 2003 года в Москве. Следовательно, моя гипотеза насчет виновности подозреваемого неверна. Следовательно, подозреваемый невиновен».

Рассуждение сведением к абсурду сходно с рассуждением от противного. Если требуется с помощью аргументов Г обосновать высказывание, главным логическим союзом которого является отрицание, то есть высказывание типа А («неверно, что А»), то в качестве допущения принимают А и стремятся в ходе вспомогательного рассуждения вывести противоречие. переход от вспомогательного рассуждения к основному имеет следующий вид:

Из Г и А выведено противоречие

Из Г выведено A

Пример. Вы попали на остров, обитатели которого делятся на две категории: рыцарей (они всегда говорят правду) и лжецов (они всегда лгут). Вам нужно найти дорогу в аэропорт. Вы встречаете двух островитян – Джона и Ивана. Иван говорит: «По крайней мере один из нас – лжец». Предположим, что Иван лжец. Тогда его утверждение ложно, однако это означает, что ни Иван, ни Джон не являются лжецами. Следовательно, Иван является рыцарем. Но из того, что Иван по вашему предположению лжец, следует, что он не рыцарь. Получается, что Иван у вас одновременно и рыцарь, и не рыцарь. Получилось противоречие. Следовательно, ваше предположение неверно, и Иван не является лжецом, смело спрашивайте у него дорогу в аэропорт».

Последний вид непрямых рассуждений – рассуждение разбором случаев. Название его происходит от того факта, что это рассуждение имеет дело с выводами из разделительного высказывания (т.е. высказывания, составленного из простых высказываний с помощью разделительного логического союза «… или …»), возможность которых основана на выводах из составляющих разделительное высказывание более простых высказываний, т.е. альтернатив или случаев.

Рассуждение разбором случаев возникает там и тогда, где и когда возникает потребность в совершении выводов из разделительного высказывания. Поскольку впрямую выводы сделать трудно, то рассуждение разбором случаев предлагает нам обходный маневр. Сначала вы смотрите, не следует ли интересующее вас высказывание из всех альтернатив (случаев), и если следует, то вы утверждаете его уже как следствие из всего разделительного высказывания. Иногда рассуждение по случаю называют рассуждением по случаям.

Схема этого рассуждения такова:

Из Г и А выведено С

Из Г и В выведено С

Из Г и (А или В) выведено С

В качестве примера рассмотрим формулировку знаменитого парадокса лжеца, представляющую собой не что иное, как рассуждение разбором случаев. Возьмем высказывание «Это высказывание ложно», которое содержит информацию о собственной ложности, и обозначим его, например, символом L. Если предположить, что L истинно, то согласно его смыслу оно будет ложно. Поскольку ложность L означает его неистинность, то получаем, что L одновременно истинно и не истинно, т.е. приходим к противоречию. Наоборот, положим, что L ложно. В этом случае L содержит не соответствующее действительности утверждение о собственной ложности, поэтому L не ложно. Мы снова пришли к противоречию. Таким образом, из первого члена разделительного высказывания «L истинно» получено противоречие и из второго члена «L ложно» получено противоречие. Поэтому можно заключить, что из разделительного высказывания «L истинно или L ложно» выводится противоречие.

Билет 17

Для начала логики классифицировали все известные противоречия,
но идея классификации оказалась неправильной. Большая заслуга в создании этой неправильной классификации, принадлежит знаменитому английскому логику Рамсею.
Он разделил парадоксы на две большие группы (А) логические парадоксы (Б) семантические
парадоксы.К логическим парадоксам, Рамсей отнес те парадоксы, которые по его мнению
имели чисто математическую природу. К семантическим парадоксам Рамсей отнес парадоксы
которые имели по его мнению, чисто семантическую природу и были как бы связаны с
дефектами нашего обычного языка.
Таким образом самое главное и фундаментальное противоречие ЛЖЕЦ скрылось под
безобидным именем от последующих поколений логиков, которые пытались понять в первую
очередь природу парадоксов Рассела и Кантора. Сделать это однако не удавалось, по той
причине, что все такие противоречия индуцируются именно противоречивой истиностной
стрелкой ЛЖЕЦ, в некоторой специальной категории Гротендика. Тогда логики на некоторое
время отказались от этой затеи и стали разрабатывать новую логику, которая не боится противоречий. Такая логика называется паранепротиворечивой логикой.

Парадоксы в логике. Научное понимание термина «П.», хотя и «выросло» из общеразговорного, не совпадает с ним. И поскольку в науке «нормой» естественно считать истину, то так же естественно характеризовать в качестве П. всякое отклонение от истины, т. е. ложь, противоречие. Поэтому в логике П. понимается как синоним терминов «антиномия», «противоречие»: так называют любое рассуждение, доказывающее как истинность некоторого высказывания, так и истинность его отрицания. При этом имеются в виду именно правильные (соответствующие принятым логическим нормам) умозаключения, а не рассуждения, в которых встречаются ошибки — вольные (софизмы) или невольные (паралогизмы).

Парадокс Рассела о множестве всех множеств принадлежит к логическим парадоксам, т.е. парадоксам, возникающим при столкновении формального логико-математического языка с метаязыком вербальным, и речь в этом случае идет о метаязыках различных парадигм. Т.о. логические парадоксы можно рассматривать как особый случай парадигматических парадоксов, отличающихся тем, что язык их есть предельно формализованный с собственными теориями его построения. Парадокс о лжеце принадлежит к семантическим парадоксам, т.е. таким, которые возникают из столкновения язык-метаязык на уровне значений истина-ложь метаязыка. Парадокс Рассела о брадобрее, обычно употребляемый для иллюстрации его парадокса о множестве всех множеств, принадлежит принципиально к иному типу. Это языковые парадоксы, которые существуют только в вербальном языке, и могут быть разрешены в метаязыке вербального языка.

Например, в одном из наиболее известных П. теории множеств — т. н. парадоксе Б. Рассела — идёт речь о множестве R всех множеств, не являющихся своими собственными элементами. Такое R является собственным элементом тогда и только тогда, когда оно не является собственным элементом. Поэтому допущение о том, что R является собственным элементом, приводит к отрицанию этого допущения, из чего следует (причём даже по правилам интуиционистской логики, т. е. без использования исключенного третьего принципа), что R не является собственным элементом. Но отсюда уже следует (в силу предыдущей фразы), что R является собственным элементом, т. е. оба противоречащих друг другу допущения оказались доказанными, а это и есть П.

П. часто именуют «логическими», поскольку они могут быть переформулированы в чисто логических терминах. Например, парадокс Рассела выглядит тогда следующим образом. Назовем свойства, не относящиеся к самим себе («синее», «глупое» и т.п.), «импредикабельными», в отличие от «предикабельных» свойств, относящихся к себе (например, «абстрактное»). Свойство «импредикабельное» импредикабельно в том и только в том случае, когда оно предикабельно. Впрочем, некоторые логики (например, советский учёный Д. А. Бочвар) причисляют к «собственно логике» («чистой логике») только узкое исчисление предикатов (быть может, с равенством), свободное от П. (см. Логика предикатов, Логика). П. же, с точки зрения Бочвара, возникают уже в самой теории множеств (к которой относится и расширенное исчисление предикатов) из-за неограниченного применения так называемого принципа свёртывания (или принципа абстракции), позволяющего вводить в рассмотрение множества объектов, задаваемые с помощью произвольных свойств этих объектов (см. Определение через абстракцию). Устранение П. достигается здесь при помощи многозначной логики: парадоксальным утверждениям (типа расселовского, например) приписывается третье (наряду с истиной и ложью), истинностное значение: «бессмысленность».

Другой важный класс П., также возникающих при рассмотрении некоторых понятий теории множеств и многоступенчатой логики, связан с понятиями обозначения, именования, осмысления истины (лжи) и т.п.: это так называемые семантические П. К ним относятся, например, парадокс Ришара — Берри (в одной из формулировок которого речь идёт о фразе «наименьшее натуральное число, которое нельзя назвать посредством меньше чем тридцати трёх слогов», определяющей — по крайней мере согласно обычным представлениям об «определимости» — некоторое натуральное число при помощи тридцати двух слогов), наиболее древний из известных П.— так называемый «лжец», или «лгущий критянин» (порождаемый фразой «все критяне — лжецы», приписываемой критскому философу Эпимениду, или же просто фразой «я лгу»), а также парадокс Греллинга: назовем прилагательные, обладающие называемым ими свойством (например, «русское» или «многосложное»), негетерологическими, а прилагательные, не обладающие соответствующим свойством («английское», «односложное», «жёлтое», «холодное» и т.п.),— гетерологическими; тогда прилагательное «гетерологическое» оказывается гетерологическим в том и только в том случае, когда оно негетерологично. Поскольку семантические П. формулируются не столько в логико-математических, сколько в лингвистических терминах, их разрешение не считали существенным для оснований логики и математики; однако между ними и логическими П. имеется тесная связь: последние относятся к понятиям, а первые — к их именам (сравните парадоксы Рассела и Греллинга).

Билет № 18

Основные семантические категории и синтаксис логики предикатов.(стр.88 – 102)

Логика предикатов – логическая теория, язык которой позволяет анализировать высказывания и умозаключения с учетом внутренней структуры простых высказываний.

Имя – термин, обозначающий отдельный объект (индивид).

Простые имена (имена – ярлыки) не содержат никакой информации об обозначаемых ими индивидах, являются только метками этих объектов.

(прим. «Луна», «Москва»).

Сложные имена помимо того, что являются метками, содержат свойства указываемого предмета.

(прим. «естественный спутник Земли», «Столица России»)

Предметные функторы (- знаки предметных функций).Их аргументы и значения – индивиды (операция сложения – двухместная предметная функция.).

Термины, с помощью которых в языке представляется предметные функции, называются предметными функциями.

Предикаторы – знаки свойств и отношений. Представляют собой то, что может предицироваться предметам, т.е. соотноситься с ними. ( «Способный изучать логику» - одноместный предикат).

Алфавит

Нелогические символы:

Индивидные константы(имена естественного языка) a, b, c, d, a₁ , b₁ , c₁ , d_1…

Предметно-функциональные константы(n>=1) – fⁿ, gⁿ, hⁿ , и т.д.

(g² - расстояние от ... до ...)

n-местные предикаторные константы. Pⁿ, Qⁿ, Sⁿ, Rⁿ, и т.д....

Индивидные переменные – x,y,z и т.д.

Логические символы :

Пропозициональные связки. ­­­­­,&,∨,⊃

Кванторы - ∃,∀

Технические символы: «(»,«)»,«,»

Правильно построенные выражения:

Термы:

1. Произвольная предметная константа является термом.
2. Произвольная предметная переменная явлется термом.
3. Если Ф – n-местная предметно функциональная константа, а t₁,.,t_n – термы, то Ф(t₁,.,t_n) – терм.
4. Ничто иное не терм.

1,2 – простые термы. 3 – сложные.