![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на нем.Стр 1 из 87Следующая ⇒ 2. Теорема Вейерштрасса: Пусть f(x) непрерывна на отрезке [a;b]. Тогда Следствие: если функция непрерывна на отрезке, то она достигает наибольшего и наименьшего значения на нем. 3. Теорема Больцано-Коши: Пустьf(x) непрерывнанаотрезке [a;b], f(a) = A, f(b) = B, A Тогда Следствие: если функция непрерывна на отрезке, то она принимает все значения на нем. Прим.: теорема не утверждает, что точка Непрерывность многочленной и рациональной функции: Т.к. произведение непрерывных функций есть функция непрерывная, отсюда следует непрерывность любого одночленного выражения ax Непрерывность многочлена (целой рациональной функции) a Частное двух многочленов (дробная рациональная функция) также будет непрерывно при каждом значении x, кроме тех, которые обращают знаменатель в 0. Терема о среднем для действительных функций одного действительного переменного. Теорема Ферма; теорема Ролля; теорема Лагранжа. Примеры показывающие существенность каждого условия в теореме Роля; геометрическая интерпретация. Теорема о среднем – совокупность: Т. Ферма, Т. Роля, Т. Коши, Т. Лагранжа. Теорема Ферма: Пусть функция Доказательство: Пусть, для определенности, в точке Пусть мы подходим к точке
Делая предельный переход Пусть мы подходим к точке
Делая предельный переход Сопоставляя соотношения (1) и (2), приходим к заключению, что Аналогично для наименьшего значения. Теорема Ролля: Пусть: 1) функция f(x) определена и непрерывна на замкнутом промежутке [a; b]; 2) 3) на концах промежутка функция принимает равные значения Тогда Доказательство: f(x) непрерывна в замкнутом промежутке [a; b], поэтому
Рассмотрим 2 случая: 1) M=m. Тогда f(x) в промежутке [a; b] сохраняет постоянное значение. Производная const равна 0. 2) Оба эти значения функцией достигаются, но, т.к. f(a) = f(b), то они не могут оба достигаться на концах промежутка и хоть одно из них достигается в некоторой точке между a и b (Если, к примеру, Замечание: теорема Ролля не утверждает, что такая точка одна. На геометрическом языке теорема Роля означает следующее: если крайние кординаты кривой y=f(x) равны, то на кривой найдется точка, где касательная параллельна оси x. Примеры показывающие существенность условий - в доказательстве (без всех условий теорема не доказуема). Теорема Лагранжа. Пусть: 1) f(x) определена и непрерывна на замкнутом промежутке [a; b], 2) f(x) дифференцируема на (a; b). Тогда Доказательство: Введем вспомогательную функцию F(x), определив ее в промежутке [a; b] равенством: Эта функция непрерывна на [a; b], т.к. представляет собой разность между непрерывной функцией f(x) и линейной функцией. В промежутке (a; b) она имеет определенную конечную производную, равную
Подстановкой можно убедиться, что F(a)=F(b)=0, т. е. F(x) принимает равные значения на концах промежутка. Следовательно, по теореме Ролля, на интервале (a; b) существует
|