![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Степенные ряды. Первая теорема Абеля. Параметры и радиус сходимости. Равномерная сходимость степенного ряда. Непрерывность суммы. Почленная дифференцируемость. Ряд Тейлора.Степенные ряды. Введём понятие степенного ряда Степенным рядом называется функциональный ряд с0 + с1(z – z0) + с2(z – z0)2 + … + сn(z – z0)n + … члены которого есть произведения постоянных с0, с1, с2, …, сn, … на степенные функции с целыми показателями степеней от разности (z - z0). Степенной ряд с центром в точке
Введём понятие функционального ряда Пусть существует последовательность функций f0(x), f1(x), …, fn(x), … . Функциональным рядом будем называть выражение вида f0(x) + f1(x) + … + fn(x) + … . Теорема Абеля. 1)Пусть степенной ряд (1) сходится в точке 2)Если степенной ряд (1) расходится в точке Доказательство: Необходимый признак сходимости ряда (Не является достаточным): По условию, ряд Ряд (1) запишем в виде Учитывая неравенства (2) найдем Здесь Если же zрассматривать только из замкнутого круга Пусть теперь ряд (1) расходится в точке Параметры и радиус сходимости Сходимость:пусть есть ряда1+а2+…+аn+… Егочастичныесуммы: S1=a1, S2=a1+a2 , …,Sn= a1 +….+ an .Ряд сходится if Из теоремы Абеля можно сделать заключение о характере области сходимости степенного ряда. Точка z=0 всегда лежит в области сходимости ряда (1). Если область сходимости отлична от одной точки z=0 и от всей плоскости (z), то существует круг радиуса R, называемый кругом сходимости степенного ряда(1), в каждой точке которого ряд (1) сходится абсолютно, а вне точек круга расходится.
Для определения радиуса круга сходимости используется либо признак Даламбера, либо признак Коши. Для каждого фиксированного zрассмотрим числовой ряд Т.о., для определения радиуса круга сходимости степенного ряда получаем формулу Если же к ряду (3) применим признак Коши то получим равенство
Радиус сходимости степенного ряда - Rcx= Критерий равномерной сходимости. Для того, чтобы функциональный ряд(в частности степенной ряд) сходился равномерно в области D, необходимо и достаточно, чтобы
Абсолютная сходимость: ряд а1+а2+…+аn+… сходится абсолютно, если сходится ряд |а1 |+|а2 |+…+|аn|+… Непрерывность суммы Свойство степенных рядов. Сумма степенного ряда есть функция, непрерывная на интервале сходимости ряда. S(z) = z0 + a1z + a2z2 + … + anzn + … Причём, в том конце интервала, где степенной ряд сходится, его сумма S(x) остаётся односторонне непрерывной. Почленная дифференцируемость Теорема1:. Cтепенной ряд внутри интервала сходимости (|z|<R) имеет сумму S(x), к-я дифференцируема сколь угодно много раз. Степенной рядможно почленно дифференцировать любое число раз, причем радиус круга сходимости продифференцированных рядов также равен R. S(x)= с0 + с1(z – z0) + с2(z – z0)2 + … + сn(z – z0)n + … S’(x)= с1 + с2 *2*(z – z0) + … + сn*n*(z – z0)n-1 + … Ряд Тейлора Имеем степенной ряд
4. Первообразная и неопределённый интеграл. Определение первообразной. Определение неопределённого интеграла, его свойства. Определение интеграла по Риману. Необходимые и достаточные свойства интегрируемости. Формула Ньютона-Лейбница. Пусть определены функции f(x) и F(x). F(x) – первообразная f(x), если F’(x) = f(x). F(x) + c – тоже первообразная f(x). Неопределенный интеграл: Свойства неопределенного интеграла: 1) 2) d 3) 4)
Определение интеграла по Риману Пусть функция y=f(x) определена на отрезке [a; b], a<b. Выполним следующие действия: 1. С помощью точек 2. В каждом частичном отрезке [ 3. Умножим найденное значение функции 4.Сост. сумму S
Сумма вида (1) называется интегральной суммой функции y=f(x) на отрезке [a; b]. Обозначим через 5. Найдем предел интегральной суммы (1), когда n Если при этом интегральная сумма Необходимые и достаточные условия интегрируемости Введём понятие верхней и нижней суммы Дабру. Пусть функция f(x) определена на отрезке [a; b], S Сумма S Теорема. Для того чтобы ограниченная на некотором отрезке функция была интегрируема на нем, необходимо и достаточно, чтобы суммы Дарбу S Следствие. Для того чтобы ограниченная на отрезке [a; b] функция f была на нем интегрируема, необходимо и достаточно, чтобы где Формула Ньютона-Лейбница Пусть функция y=f(x) интегрируема на отрезке [a; b]. Теорема.Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и F(x) - какая-либо ее первообразная на [a; b] (F’(x)=f(x)), то имеет место формула Доказательство: Пусть на отрезке [a;b] задана интегрируемая функция f(x). Зададим произвольное значение
5. Основные понятия теории вероятности: классификация событий. Классические определения вероятности. Геометрические определения вероятности. Теоретико-множественная трактовка основных понятий и аксиоматическое построение теории вероятности. Теорией вероятности наз. мат. наука, изучающая закономерности в случайных событиях. Классификация событий: Событие– всякий факт, который может произойти в результате некоторого опыта. Достоверным называется событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий. Его вероятность равна 1 (P=1). Невозможнымназывают событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий. Его вероятность равна 0 (P=0). Случайное событие – такое событие, которое при осуществлении совокупности условий может либо произойти, либо не произойти (0<P<1). Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появления другого. Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании. Противоположные события –событие А называют противоположным B, если результат его противоположен результату B. P(A) + P(B) =1 Классическое определение вероятности: вероятность есть число, характеризующее степень возможности появления события. Каждый возможный результат – элементарный исход. Те элементарные исходы, в кот.интересующее нас событие наступает, называются благоприятствующими исходами. Т.о., событие А наблюдается, если в испытании наступает один, безразлично какой, из элементарных исходов, благоприятствующих А. Вероятностью события А называется отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. P(A)= n – число всех возможных элементарных исходов. Недостаток классического определения вероятности – оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов. Для преодоления этого недостатка вводят геометрические вероятности – вероятности попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т. д.). Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. На отрезок L наудачу поставлена точка. Вероятность попадания точки на отрезок l определяется равенством: P= Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G. На фигуру G наудачу брошена точка. Вероятность попадания точки в фигуру g определяется равенством: P= Аксиоматическое построение теории вероятности. Введем поле J элементарных событий, т.е. множество событий для к-х определены вероятности. Аксиомы: 1) любому 2) P( 3) Аксиома сложения вероятностей: Вероятность объединения несовместных событий равна сумме их вероятностей. Объединением нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий. Теорема сложения вероятностей. Вероятность появления 1 из 2 несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. P(A+B)=P(A)+P(B);m P(A+B)= Вероятность появления одного из нескольких попарно-несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. P(A Сумма вероятностей A События называются полной группой if Условная вероятность. Вероятность наступления события А, зависящего от наступления события B называется условной вероятностью - P(A|B) = Теорема умножения вероятностей. Произведение событий. (A*B) – совместное появление этих событий. Вероятность совместного появления 2 событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную, предположив, что первое событие уже наступило. P(A*B)=P(A)*P (B|A) = P(B)*P(A|B). Для независимых событий P(A*B)=P(A)*P(B). Вероятность появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события произошли. P(A
6. Случайная величина. Законы распределения случайной величины. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины: определение, свойства. Вычисление математических ожиданий и дисперсий распределений: биноминального, Пуассона, нормального.
Случайной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение (только одно), причем до опыта неизвестно, какое именно. Пространство её значений – вероятностное пространство С.В(случайной величины). Существуют 3 типа С.В.: дискретные, непрерывные, непрерывно-дискретные. Дискретной случайной величиной называется такая величина, число возможных значений которой либо конечное, либо бесконечное (счетное множество). Непрерывной - возможные значения к-й непрерывно заполняют некоторый интервал на числовой оси. Непрерывно-дискретная – С.В, значения к-й непрерывно заполняют отдельные интервалы на числовой оси. Так же С.В. могут быть классифицированы: a)скалярные(X), векторные(X1,X2,…,Xn). б)действительные, комплексные. Закон распределения дискретной С.В.. P Сумма вероятностей всех значений равна 1. Законом распределения С.В. называется любое правило (таблица, функция), устанавливающее связь между возможными значениями С.В.(X) и соответствующими вероятностями. Для непрерывной С.В. – правило, функция. (табл. быть соответственно не может в силу непрерывности). Законы – F(x), f(x). Функция распределения вероятности. F(x) Функцией распределения С.В. X называется вероятность того, что она примет значения, меньшие, чем x: F(x)=P(X<x). Свойства функции распределения. 1) Функция распределения есть неубывающая функция своего аргумента. x 2) F(- 3) F(+ 4) Функция распределения есть неотрицательная функция 0<=F(x)<=1. 5) Вероятность появления случайной величины в интервале ( 6) Непрерывна слева 7) Функция распределения дискретной С.В. разрывна и возрастает скачками. (графически выглядит как лестница) 8)Непрерывна для непрерывной С.В. Плотность распределения вероятности. f(x) Плотность характеризует распределение только непрерывной С.В.. Будем считать С.В. непрерывной, если ее функция распределения дифференцируема. P(x<X<x+
f(x) = F’(x). Плотность распределения С.В.– производная ее функции в данной точке. Плотность указывает на то, как часто появляется С.В. X в некоторой окрестности точки x при повторении опытов. Св-ва: 1)F(x) = 3)f(x) Числовые характеристики С.В.. Мат. ожиданиемдискретной С.В. называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности. Пусть X принимает значения x M(X)=x Мат.ожидание непрерывной С.В. Пусть непрерывная С.В X задана плотностью распределения f(x). Допустим, что все возможные значения X принадлежат отрезку [a; b]. Разобьем этот отрезок на n частичных отрезков длиной Перейдем к пределу: Свойства математического ожидания: 1. Мат. ожидание постоянной величины равно самой постоянной M(C)=C. 2. Постоянный множитель можно выносить за знак мат.ожидания M(CX)=CM(X). 3. Мат.ожидание произведения двух независимых С.В. равно произведению их мат.ожиданий M(XY)=M(X)M(Y). 4. Мат.ожидание суммы двух С.В. равно сумме мат. ожиданий слагаемых M(X+Y)=M(X)+M(Y). Дисперсиейдискретной С.В. называют мат.ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее мат. ожидания: D(X)=M[X-M(X)] По определению дисперсии: D(X)=M[X-M(X)] Дисперсия равна разности между мат. ожиданием квадрата С.В. X и квадратом ее мат. ожидания. D(X)=M(X D(X)=M[X-M(X)] Дисперсией непрерывной случайной величины называют мат.ожидание квадрата ее отклонения. Если возможные значения X принадлежат отрезку [a; b], то D(X)= (a и b могут быть
Свойства дисперсии: 1. Дисперсия постоянной величины C равна 0 D(C)=0. 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат D(CX)= C 3. Дисперсия суммы(разности) двух независимых С.В. равна сумме(разности) дисперсий этих величин D(X 4. D(X)=M(X D(X)=M[X-M(X)] Вычисление мат.ожидания и дисперсии при биномиальном распределении.
– число появления события A в n независимых опытах. P(A)=p; q=1-p; X{0, 1, 2,…, n}, /////////////////////на всякий случай вывод для тех, кому очень интересно Формула распределения: P (m) =
По определению, математическое ожидание случайной величины вычисляется по формуле: где x i - значения случайной величины x , p i - вероятности событий Для закона распределения случайной величины мы получим: Поскольку
то Окончательно: Для дисперсии, по определению, имеем:
получим:
///////////////////////////////////////////////////////////////
p Вычисление мат. ожидания и дисперсии при распределении Пуассона. X – число появлений события A в n независимых испытаниях.
///////////////////////////////////////////////////////////// на всякий случай вывод для тех, кому очень интересно
Рассмотрим второй случай асимптотического приближения биномиального распределения, когда
В биномиальном распределении величина
Таким образом, в распределении Пуассона величина Проведем вычисления дисперсии для распределения Пуассона:
поскольку
Таким образом, в распределении Пуассона дисперсия также равна
/////////////////////////////////////////////////////////// P Вычисление мат.ожидания и дисперсии при нормальном законе распределения. Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной С.В., которое описывается плотностью f(x)= Нормальное распределение определяется двумя параметрами: a и M(X)=a. D(X)=
7. Законы больших чисел и предельные теоремы: неравенство Маркова, неравенство Чебышева, теорема Чебышева, центральная предельная теорема. Законы больших чисел и предельные теоремы Закон больших чисел (в широком смысле) – общий принцип, согласно которому, совокупное действие большого числа случайных факторов приводит (при некоторых весьма общих условиях) к результату, почти не зависящему от случая. Другими словами, при большом числе случайных величин их средний результат перестает быть случайным и м.б. предсказан с большой степенью определенности. Закон больших чисел (в узком смысле) – ряд математических теорем, в каждой из которых для тех или иных условий устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа испытаний к некоторым определенным постоянным. Неравенство Маркова (лемма Чебышева) Теорема.Если случайная величина X принимает только неотрицательные значения и имеет мат. ожидание, то для любого положительного числа А верно неравенство P(x>A) Доказательство: проведем для дискретной случайной величины X. Расположим ее значения в порядке возрастания, из которых часть значений x Запишем выражение для математического ожидания M(X): x где p Отбрасывая первые k неотриц. слагаемых получим x Заменяя в неравенстве (2) значения x Сумма вероятностей в левой части полученного неравенства представляет собой, сумму вероятностей событий X=x Поэтому P(X>A) <= Неравенство Чебышева Теорема.Для любой случайной величины, имеющей мат. ожидание и дисперсию, справедливо неравенство Чебышева: P(|X-a|> Доказательство: Применим неравенство Маркова в форме (1) к случайной величине X’=(X-a) Т.к. неравенство Теорема Чебышева Если дисперсии n независимых С.В. X
Докажем формулу (5). По условию M(X Возьмем такое С: D(X Получим неравенство Чебышева для средней арифметической случайных величин, т.е. для X= M(X)=M( D(X)=D( (Здесь использованы свойства математического ожидания и дисперсии, в частности, то, что случайные величины X Применяем неравенство Чебышева(вариант Германа) для С.В - X=(X Т.к. по доказанному D(X) В пределе при n Центральная предельная теорема Рассмотрим другую закономерность, возникающую в результате суммарного действия случайных величин. При некоторых условиях совокупное действие случайных величин приводит к определенному, а именно — к нормальному закону распределения.Центральная предельная теорема представляет собой группу теорем, посвященных установлению условий, при которых возникает нормальный закон распределения. Среди этих теорем важнейшее место принадлежит теореме Ляпунова. Теорема Ляпунова. Если .X В данном вопросе громоздкие, хотя и достаточно понятные доказательства теорем без к-х ответ окажется очень маленьким. Хотя по усмотрению, можете обойтись перечислением теорем если не успеваете. 8.Проверка статистических гипотез: принципы практической уверенности, статистическая гипотеза и общая схема её проверки, основная и альтернативная гипотезы, простая и сложные гипотезы, ошибки первого и второго ряда при проверке гипотезы, мощность критерия Пусть имеется некоторая выборка Если рассматривается всего 2 взаимоисключающие гипотезы, то одну из них принято называть основной (нулевой) и обозначать При проверке статистических гипотез используется принцип практической уверенности: «если вероятность события А в данном опыте весьма мала, то можно вести себя так, как будто событие А вообще невозможно, т. е. не рассчитывать на его появление; если же вероятность события близка к 1, то можно предполагать, что оно достоверно произойдет». Таким образом, при правильном выборе допустимого отклонения вероятности правильного решения о принятии или не принятии гипотезы мы можем на основании вероятностных данных делать выводы невероятностного характера (например, о свойствах случайных величин). Типовые постановки задачи при проверке статистических гипотез: 1) | ||||||||||||
Дата добавления: 2015-04-18; просмотров: 291; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав |