Степенные ряды. Первая теорема Абеля. Параметры и радиус сходимости. Равномерная сходимость степенного ряда. Непрерывность суммы. Почленная дифференцируемость. Ряд Тейлора.

Степенные ряды.

Введём понятие степенного ряда

Степенным рядом называется функциональный ряд с₀ + с₁(z – z₀) + с₂(z – z₀)² + … + с_n(z – z₀)ⁿ + …

члены которого есть произведения постоянных с₀, с₁, с₂, …, с_n, … на степенные функции с целыми показателями степеней от разности (z - z₀).

Степенной ряд с центром в точке : , где D –область.

- ряд с центром в точке z₀ = 0 (1)

Введём понятие функционального ряда

Пусть существует последовательность функций f₀(x), f₁(x), …, f_n(x), … . Функциональным рядом будем называть выражение вида f₀(x) + f₁(x) + … + f_n(x) + … .

Теорема Абеля.

1)Пусть степенной ряд (1) сходится в точке .Тогда он сходится абсолютно в любой точке z, для которой | |<| |,и равномерно и абсолютно в любом круге радиуса R:

2)Если степенной ряд (1) расходится в точке , тогда он расходится и во всех точках z таких, что |z|>| |.

Доказательство:

Необходимый признак сходимости ряда (Не является достаточным): при

По условию, ряд сходится, следовательно, . Любая последовательность, имеющая предел, ограничена, значит, существует такое число M: для всех n=0, 1,… (2)

Ряд (1) запишем в виде

Учитывая неравенства (2) найдем , т.к. .

Здесь , поэтому последний ряд сходится, а это означает, что сходится ряд , т. е. при |z|<|| исходный степенной ряд (1) сходится абсолютно.

Если же zрассматривать только из замкнутого круга , то , а это означает, что степенной ряд (1) мажорируется сходящимся числовым рядом и по признаку Вейерштрасса исходный степенной ряд (1) сходится равномерно в круге

Пусть теперь ряд (1) расходится в точке . Предположим, что в точке такой, что | |>| | ряд (1) сходится. Тогда по предыдущему утверждению ряд (1) сходится и в точке , что противоре­чит условию. Итак, для всех z таких, что |z|>| | ряд (1) расходится. [Теорема доказана]

Параметры и радиус сходимости

Сходимость:пусть есть ряда₁+а₂+…+а_n+… Егочастичныесуммы: S₁=a₁, S₂=a₁+a₂ , …,Sn= a₁ +….+ a_n .Ряд сходится if , где S конечно.

Из теоремы Абеля можно сделать заключение о характере области сходимости степенного ряда. Точка z=0 всегда лежит в области сходимости ряда (1). Если область сходимости отлична от одной точки z=0 и от всей плоскости (z), то существует круг радиуса R, называемый кругом сходимости степенного ряда(1), в каждой точке которого ряд (1) сходится абсолютно, а вне точек круга расходится.

Для определения радиуса круга сходимости используется либо признак Даламбера, либо признак Коши.

Для каждого фиксированного zрассмотрим числовой ряд (3) и применим к нему признак Даламбера. Именно: если существует предел (4) , то ряд (3) сходится, если и расходится, если . Отсюда заключаем, что если выполнено соотношение , то ряд (3) сходится абсолютно, а если имеет место неравенство , то ряд (1) как и ряд (3), расходится.

Т.о., для определения радиуса круга сходимости степенного ряда получаем формулу (5).

Если же к ряду (3) применим признак Коши то получим равенство

из которого заключаем, что ряд (3) сходится, если , и расходится, если . Т.о., радиус круга сходимости Rряда (1) определяется по формуле . (6) (формула Коши — Адамара.)

Радиус сходимости степенного ряда - Rcx= =

Критерий равномерной сходимости.

Для того, чтобы функциональный ряд(в частности степенной ряд) сходился равномерно в области D, необходимо и достаточно, чтобы и : при n>N

, p =0,1,2,3,…

Абсолютная сходимость: ряд а₁+а₂+…+а_n+… сходится абсолютно, если сходится ряд |а₁ |+|а₂ |+…+|а_n|+…

Непрерывность суммы

Свойство степенных рядов. Сумма степенного ряда есть функция, непрерывная на интервале сходимости ряда. S(z) = z₀ + a₁z + a₂z² + … + a_nzⁿ + …

Причём, в том конце интервала, где степенной ряд сходится, его сумма S(x) остаётся односторонне непрерывной.

Почленная дифференцируемость

Теорема1:. Cтепенной ряд внутри интервала сходимости (|z|<R) имеет сумму S(x), к-я дифференцируема сколь угодно много раз. Степенной рядможно почленно дифференцировать любое число раз, причем радиус круга сходимости продифференцированных рядов также равен R.

S(x)= с₀ + с₁(z – z₀) + с₂(z – z₀)² + … + с_n(z – z₀)ⁿ + …

S’(x)= с₁ + с₂ *2*(z – z₀) + … + с_n*n*(z – z₀)^n-1 + …

Ряд Тейлора

Имеем степенной ряд . Обозначим через f(z) его сумму. Сходится в круге |z - |<R.

называется рядом Тейлора функции f(z) по степеням (z- ). Из почленной дифференцируемости имеем, что радиус сходимости тот же.

- эти выражения называются коэф­фициентами Тейлора функции f(z) в точке . В случае =0 этот ряд называется также рядом Маклорена функции f(z).

4. Первообразная и неопределённый интеграл. Определение первообразной. Определение неопределённого интеграла, его свойства. Определение интеграла по Риману. Необходимые и достаточные свойства интегрируемости. Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть определены функции f(x) и F(x). F(x) – первообразная f(x), если F’(x) = f(x). F(x) + c – тоже первообразная f(x).

Неопределенный интеграл: - множество всех первообразных f(x).

Свойства неопределенного интеграла:

1)

2) d

3)

4) , где с – const

Определение интеграла по Риману

Пусть функция y=f(x) определена на отрезке [a; b], a<b. Выполним следующие действия:

1. С помощью точек =a, , ,…, =b ( < < <…< ) разобьем отрезок [a; b] на n частичных отрезков [ , ], [ , ],…, [ , ]

2. В каждом частичном отрезке [ , ], i=1, 2,…, n выберем произвольную точку c и вычислим значение функции в ней, т. е. величину .

3. Умножим найденное значение функции на длину соответствующего частичного отрезка: * .

4.Сост. сумму S всех таких произведений.:

(1)

Сумма вида (1) называется интегральной суммой функции y=f(x) на отрезке [a; b]. Обозначим через длину наибольшего частичного отрезка .

5. Найдем предел интегральной суммы (1), когда n так, что .

Если при этом интегральная сумма имеет предел I, который не зависит ни от способа разбиения отрезка [a; b] на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то число I называется определенным интегралом от функции y=f(x) на отрезке [a,b] Т.о., = (2)

Необходимые и достаточные условия интегрируемости

Введём понятие верхней и нижней суммы Дабру. Пусть функция f(x) определена на отрезке [a; b], разбиение этого отрезка . Положим (т.е. Mk максимальное значение функции на отрезке [k-1;k]), m (mk - минимальное), k=1, 2,…, k (3)

S = S (f)= , s = s (f)= . (4)

Сумма S называется верхней, а сумма s - нижней суммой Дарбу функции f. В случае, когда функция f ограничена, то нижние и верхние грани (3) конечны, и потому суммы Дарбу (4) при любом разбиении принимают конечные значения.

Теорема. Для того чтобы ограниченная на некотором отрезке функ­ция была интегрируема на нем, необходимо и достаточно, чтобы суммы Дарбу S и s этой функции удовлетворяли условию (5)

Следствие. Для того чтобы ограниченная на отрезке [a; b] функция f была на нем интегрируема, необходимо и достаточно, чтобы (6)

где - разбиение отрезка [a; b], а - колебание функции f на отрезке , k=1, 2,…, k .

Формула Ньютона-Лейбница

Пусть функция y=f(x) интегрируема на отрезке [a; b].

Теорема.Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и F(x) - какая-либо ее первообразная на [a; b] (F’(x)=f(x)), то имеет место формула

Доказательство:

Пусть на отрезке [a;b] задана интегрируемая функция f(x). Зададим произвольное значение . Пусть функция F(x)- какая-нибудь первообразная для заданной функции f(x). Тогда она может быть получена по формуле .Таким образом, учитывая, что C=F(a), имеем: . Пологая теперь x=b получаем: . Откуда:

5. Основные понятия теории вероятности: классификация событий. Классические определения вероятности. Геометрические определения вероятности. Теоретико-множественная трактовка основных понятий и аксиоматическое построение теории вероятности.

Теорией вероятности наз. мат. наука, изучающая закономерности в случайных событиях.

Классификация событий:

Событие– всякий факт, который может произойти в результате некоторого опыта.

Достоверным называется событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий. Его вероятность равна 1 (P=1).

Невозможнымназывают событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий. Его вероятность равна 0 (P=0).

Случайное событие – такое событие, которое при осуществлении совокупности условий может либо произойти, либо не произойти (0<P<1).

Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появления другого.

Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании.

Противоположные события –событие А называют противоположным B, если результат его противоположен результату B. P(A) + P(B) =1

Классическое определение вероятности: вероятность есть число, характеризующее степень возможности появления события. Каждый возможный результат – элементарный исход. Те элементарные исходы, в кот.интересующее нас событие наступает, называются благоприятствующими исходами. Т.о., событие А наблюдается, если в испытании наступает один, безразлично какой, из элементарных исходов, благоприятствующих А. Вероятностью события А называется отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. P(A)= , m – число элементарных исходов, благоприятствующих А;

n – число всех возможных элементарных исходов.

Недостаток классического определения вероятности – оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов. Для преодоления этого недостатка вводят геометрические вероятности – вероятности попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т. д.).

Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. На отрезок L наудачу поставлена точка. Вероятность попадания точки на отрезок l определяется равенством:

P= .

Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G. На фигуру G наудачу брошена точка. Вероятность попадания точки в фигуру g определяется равенством:

P= .

Аксиоматическое построение теории вероятности.

Введем поле J элементарных событий, т.е. множество событий для к-х определены вероятности. -пространство элементарных событий. J .

Аксиомы:

1) любому соответствует некоторое неотрицательное число P(A) (вероятность этого события), причем P(A) может быть - 0<=P(A)<=1;

2) P( ) = 1 – достоверное событие;

3) Аксиома сложения вероятностей: Вероятность объединения несовместных событий равна сумме их вероятностей.

Объединением нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Теорема сложения вероятностей.

Вероятность появления 1 из 2 несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. P(A+B)=P(A)+P(B);m -A, m -B. m + m - число благопр. исходов или A или B.

P(A+B)= = + =P(A)+P(B).(из классического определения вероятности)

Вероятность появления одного из нескольких попарно-несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. P(A +A +…+A )=P(A )+P(A )+…+P(A ).

Сумма вероятностей A , A ,…, A , образующих полную группу несовместных событий, всегда равна 1.

События называются полной группой if .

Условная вероятность. Вероятность наступления события А, зависящего от наступления события B называется условной вероятностью - P(A|B) = (P(B) 0). Если события независимы (P(A|B)=P(A), P(B|A)=P(B)), то их вероятности безусловные.

Теорема умножения вероятностей.

Произведение событий. (A*B) – совместное появление этих событий.

Вероятность совместного появления 2 событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную, предположив, что первое событие уже наступило. P(A*B)=P(A)*P (B|A) = P(B)*P(A|B). Для независимых событий P(A*B)=P(A)*P(B).

Вероятность появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события произошли.

P(A , A ,…,A )=P(A )*P (A |A₁)+…+P (A |A₁A₂….A_n-1).

6. Случайная величина. Законы распределения случайной величины. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины: определение, свойства. Вычисление математических ожиданий и дисперсий распределений: биноминального, Пуассона, нормального.

Случайной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение (только одно), причем до опыта неизвестно, какое именно. Пространство её значений – вероятностное пространство С.В(случайной величины). Существуют 3 типа С.В.: дискретные, непрерывные, непрерывно-дискретные. Дискретной случайной величиной называется такая величина, число возможных значений которой либо конечное, либо бесконечное (счетное множество). Непрерывной - возможные значения к-й непрерывно заполняют некоторый интервал на числовой оси. Непрерывно-дискретная – С.В, значения к-й непрерывно заполняют отдельные интервалы на числовой оси.

Так же С.В. могут быть классифицированы:

a)скалярные(X), векторные(X1,X2,…,Xn).

б)действительные, комплексные.

Закон распределения дискретной С.В..

P =P(X=x ); P =P(X=x ); …; P =P(X=x ).

Сумма вероятностей всех значений равна 1. Законом распределения С.В. называется любое правило (таблица, функция), устанавливающее связь между возможными значениями С.В.(X) и соответствующими вероятностями. Для непрерывной С.В. – правило, функция. (табл. быть соответственно не может в силу непрерывности). Законы – F(x), f(x).

Функция распределения вероятности. F(x)

Функцией распределения С.В. X называется вероятность того, что она примет значения, меньшие, чем x: F(x)=P(X<x).

Свойства функции распределения.

1) Функция распределения есть неубывающая функция своего аргумента. x >x , F(x )>F(x ).

2) F(- )=0.

3) F(+ )=1.

4) Функция распределения есть неотрицательная функция 0<=F(x)<=1.

5) Вероятность появления случайной величины в интервале ( ; ) равна разности значений функции распределения в концах интервалов. P( <=x<= )=F( ) - F( ).

6) Непрерывна слева

7) Функция распределения дискретной С.В. разрывна и возрастает скачками. (графически выглядит как лестница)

8)Непрерывна для непрерывной С.В.

Плотность распределения вероятности. f(x)

Плотность характеризует распределение только непрерывной С.В.. Будем считать С.В. непрерывной, если ее функция распределения дифференцируема. P(x<X<x+ x) = F(x+ x) – F(x).

; = =F’(x).

f(x) = F’(x).

Плотность распределения С.В.– производная ее функции в данной точке. Плотность указывает на то, как часто появляется С.В. X в некоторой окрестности точки x при повторении опытов.

Св-ва: 1)F(x) = 2)F(+ ) =1

3)f(x) 0 4) P(a<X<b) =

Числовые характеристики С.В..

Мат. ожиданиемдискретной С.В. называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

Пусть X принимает значения x , x ,…, x , вероятности к-х соответственно равны p , p ,…, p .

M(X)=x p + x p +…+ x p = .

Мат.ожидание непрерывной С.В.

Пусть непрерывная С.В X задана плотностью распределения f(x). Допустим, что все возможные значения X принадлежат отрезку [a; b]. Разобьем этот отрезок на n частичных отрезков длиной , ,…, и выберем в каждом из них произвольную точку x (i=1, 2,…, n). Определим мат. ожидание непрерывной величины по аналогии с дискретной; составим сумму произведений возможных значений x на вероятности попадания их в интервал : .

Перейдем к пределу: = ; M(X)= .

Свойства математического ожидания:

1. Мат. ожидание постоянной величины равно самой постоянной M(C)=C.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак мат.ожидания M(CX)=CM(X).

3. Мат.ожидание произведения двух независимых С.В. равно произведению их мат.ожиданий M(XY)=M(X)M(Y).

4. Мат.ожидание суммы двух С.В. равно сумме мат. ожиданий слагаемых M(X+Y)=M(X)+M(Y).

Дисперсиейдискретной С.В. называют мат.ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее мат. ожидания: D(X)=M[X-M(X)] .

По определению дисперсии:

D(X)=M[X-M(X)] =[x -M(X)] p +[x -M(X)] p +…+[x -M(X)] p .

Дисперсия равна разности между мат. ожиданием квадрата С.В. X и квадратом ее мат. ожидания. D(X)=M(X )-[M(X)] .

D(X)=M[X-M(X)] =M[X -2XM(X)+M (X)]= M(X )-2M(X)M(X)+ M (X)= =M(X )-2M (X)+M (X)= M(X )- M (X)= M(X )-[M(X)] .

Дисперсией непрерывной случайной величины называют мат.ожидание квадрата ее отклонения. Если возможные значения X принадлежат отрезку [a; b], то D(X)=

(a и b могут быть и - соответственно)

Свойства дисперсии:

1. Дисперсия постоянной величины C равна 0 D(C)=0.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат D(CX)= C D(X).

3. Дисперсия суммы(разности) двух независимых С.В. равна сумме(разности) дисперсий этих величин D(X Y)=D(X) D(Y).

4. D(X)=M(X )-[M(X)] .

D(X)=M[X-M(X)] =M[X -2XM(X)+M (X)]= M(X )-2M(X)M(X)+ M (X)= =M(X )-2M (X)+M (X)= M(X )- M (X)= M(X )-[M(X)] .

Вычисление мат.ожидания и дисперсии при биномиальном распределении.

X				…	n
p	p	p	p	…	p

– число появления события A в n независимых опытах. P(A)=p; q=1-p; X{0, 1, 2,…, n},

/////////////////////на всякий случай вывод для тех, кому очень интересно

Формула распределения:

P (m) =

По определению, математическое ожидание случайной величины вычисляется по формуле:

где

x _i - значения случайной величины x ,

p _{i -} вероятности событий .

Для закона распределения случайной величины мы получим:

Поскольку

,

то

Окончательно:

Для дисперсии, по определению, имеем:

.

получим:

///////////////////////////////////////////////////////////////

p (k)=C p q . M(x)=np. D(x)=npq.

Вычисление мат. ожидания и дисперсии при распределении Пуассона.

X – число появлений события A в n независимых испытаниях.

///////////////////////////////////////////////////////////// на всякий случай вывод для тех, кому очень интересно

Рассмотрим второй случай асимптотического приближения биномиального распределения, когда , а – имеет конечное значение. Случайная величина называется распределенной по закону Пуассона с параметром , если эта случайная величина может принимать значения , соответствующая вероятность которых определяется по формуле Пуассона, когда :

.

В биномиальном распределении величина имеет смысл математического ожидания. Проведем вычисления математического ожидания для распределения Пуассона:

.

Таким образом, в распределении Пуассона величина также имеет смысл математического ожидания.

Проведем вычисления дисперсии для распределения Пуассона:

,

поскольку

,

Таким образом, в распределении Пуассона дисперсия также равна

///////////////////////////////////////////////////////////

P (k)= ; – параметр распределения; =np; M(x)= D(X)= .

Вычисление мат.ожидания и дисперсии при нормальном законе распределения.

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной С.В., которое описывается плотностью f(x)= .

Нормальное распределение определяется двумя параметрами: a и . Достаточно знать эти параметры, чтобы задать нормальное распределение.

M(X)=a. D(X)= .

7. Законы больших чисел и предельные теоремы: неравенство Маркова, неравенство Чебышева, теорема Чебышева, центральная предельная теорема.

Законы больших чисел и предельные теоремы

Закон больших чисел (в широком смысле) – общий принцип, согласно которому, совокупное действие большого числа случайных факторов приводит (при некоторых весьма общих условиях) к результату, почти не зависящему от случая. Другими словами, при большом числе случайных величин их средний результат перестает быть случайным и м.б. предсказан с большой степенью определенности.

Закон больших чисел (в узком смысле) – ряд математических теорем, в каждой из которых для тех или иных условий устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа испытаний к некоторым определенным постоянным.

Неравенство Маркова (лемма Чебышева)

Теорема.Если случайная величина X принимает только неотрицательные значения и имеет мат. ожидание, то для любого положительного числа А верно неравенство P(x>A) . (1)

Доказательство: проведем для дискретной случайной величины X. Расположим ее значения в порядке возрастания, из которых часть значений x , x ,…, x будут не более числаА, а другая часть - x ,…, x будут больше А, т.е.x <=A, x <=A,…, x <=A; x >A,…, x >A.

Запишем выражение для математического ожидания M(X):

x p + x p +…+ x p + x p +…+ x p =M(X)

где p , p ,…, p - вероятности того, что случайная величина Х примет значения соответственно x , x ,…, x .

Отбрасывая первые k неотриц. слагаемых получим x p +…+ x p <=M(X) (2)

Заменяя в неравенстве (2) значения x ,…, x меньшим числомА, получим более сильное неравенство A(p +…+ p )<=M(X) или p +…+ p <= .

Сумма вероятностей в левой части полученного неравенства представляет собой, сумму вероятностей событий X=x ,…X=x т.е. вероятность события X>A.

Поэтому P(X>A) <= .

Неравенство Чебышева

Теорема.Для любой случайной величины, имеющей мат. ожидание и дисперсию, справедливо неравенство Чебышева: P(|X-a|> )<= , (3) где a=M(X), >0. ( P(|X-a| ) 1 - - другая форма записи неравенства Чебышева, тоже правильная.Ее давал Герман)

Доказательство: Применим неравенство Маркова в форме (1) к случайной величине X’=(X-a) взяв в качестве положительного числа A= . Получим <= . (4)

Т.к. неравенство равносильно неравенству |X-a|> , а M(X-a) есть дисперсия случайной величины X, то из неравенства (4) получаем доказываемое неравенство (3).

Теорема Чебышева

Если дисперсии n независимых С.В. X , X ,…, X ограничены одной и той же постоянной, топри неограниченном увеличении числа n средняя арифметическая случайных величин сходится по вероятности к средней арифметической их мат. ожиданий (M (x₁) = a , M (x₂) = a ,…, a =M (x_n), т. е.

(5) или .

Докажем формулу (5). По условию M(X )=a , M(X )=a ,…, M(X )=a ,

Возьмем такое С: D(X )<=C, D(X )<=C,…, D(X )<=C, где C - постоянное число.

Получим неравенство Чебышева для средней арифметической случайных величин, т.е. для X= . Найдем мат. ожидание M(X) и оценку дисперсии D(X)

M(X)=M( )= ;

D(X)=D( )= .

(Здесь использованы свойства математического ожидания и дисперсии, в частности, то, что случайные величины X , X ,…, X независимы, а следовательно, дисперсия их суммы равна сумме дисперсий.)

Применяем неравенство Чебышева(вариант Германа) для С.В - X=(X ,X ,…,X )/n; (6)

Т.к. по доказанному D(X) , то 1- , и от неравенства (6) перейдем к более сильному неравенству: (7)

В пределе при n величина стремится к нулю, и получим доказываемую формулу (5).

Центральная предельная теорема

Рассмотрим другую закономерность, возникающую в результате суммарного действия случайных величин. При некоторых условиях совокупное действие случайных величин приводит к определенному, а именно — к нормальному закону распределения.Центральная предельная теорема представляет собой группу теорем, посвященных установлению условий, при которых возникает нормальный закон распределения. Среди этих теорем важнейшее место принадлежит теореме Ляпунова.

Теорема Ляпунова. Если .X , X ,…, X независимые С.В, у каждой из к-х существует мат. ожидание M(X )=a, дисперсия D(X )= , абсолютный центральный момент третьего порядка M(|X -a | )=m и . (80) , то закон распределения суммы Y =X +X +…+X при n неограниченно приближается к нормальному с математическим ожиданием и дисперсией .

В данном вопросе громоздкие, хотя и достаточно понятные доказательства теорем без к-х ответ окажется очень маленьким. Хотя по усмотрению, можете обойтись перечислением теорем если не успеваете.

8.Проверка статистических гипотез: принципы практической уверенности, статистическая гипотеза и общая схема её проверки, основная и альтернативная гипотезы, простая и сложные гипотезы, ошибки первого и второго ряда при проверке гипотезы, мощность критерия

Пусть имеется некоторая выборка значений случайной величины , функция распределения которой неизвестна. Статистической гипотезой называется любое предположение о распределении наблюдений, например, предположение о том, что функция распределения совпадает с некоторой наперед заданной функцией : (такая гипотеза называется простой), или о том, что функция распределения принадлежит некоторому параметрическому семейству распределений : (сложная статистическая гипотеза).

Если рассматривается всего 2 взаимоисключающие гипотезы, то одну из них принято называть основной (нулевой) и обозначать , а другую – альтернативной (противоположной), она обозначается . Обычно за принимается такая гипотеза, отвержение которой, когда она на самом деле верна, будет иметь наихудшие последствия по сравнению с теми, когда за выбирается другая гипотеза.

При проверке статистических гипотез используется принцип практической уверенности: «если вероятность события А в данном опыте весьма мала, то можно вести себя так, как будто событие А вообще невозможно, т. е. не рассчитывать на его появление; если же вероятность события близка к 1, то можно предполагать, что оно достоверно произойдет». Таким образом, при правильном выборе допустимого отклонения вероятности правильного решения о принятии или не принятии гипотезы мы можем на основании вероятностных данных делать выводы невероятностного характера (например, о свойствах случайных величин).

Типовые постановки задачи при проверке статистических гипотез:

1)