Формулировка задачи как вариационной задачи на услов­ный экстремум.

Для этого необходимо рассматривать в качестве уравнения связей уравнение системы (1), а в качестве функционала – функционал (2).

Таким образом, получаем следующую вариационную задачу:

Определить функции x(t) и u(t) доставляющие экстремум функционалу

,

при граничных условиях

,

и при дополнительном условии (уравнении связи)

накладываемом на функции x(t), u(t) , в классе которых ищется экстремум.

Синтез оптимального алгоритма управления.

1.4.1. Получение уравнений вариационной задачи.

Введем вспомогательную функцию (функцию Лагранжа)

,

где - пока неизвестная функция, называемая неопределенным множителем Лагранжа.

Рассматриваемая задача называется задачей Лагранжа.

l(t) – неопределенный множитель Лагранжа, Φ – функция Лагранжа.

Запишем уравнения Эйлера для функции (они называются уравнениями Эйлера – Лагранжа)

Решим совместно уравнения Эйлера – Лагранжа и уравнение связи. Это система трех уравнений для определения трех неизвестных x(t), u(t), l(t).

В итоге получаем систему уравнений

(3)

(4)

(5)

Здесь (3), (4) – уравнения Эйлера – Лагранжа. К этим уравнениям добавлено уравнение объекта (5) (уравнение связи).

Отыскание решения уравнений вариационной задачи.

Уравнения (3) – (5) решаются в следующем порядке:

1) Выразим u(t) из (4):

Затем подставим его в (5).

При этом получается система уравнений

, (6)

с коэффициентами

a₁₁ = p – nb/2m = -2608,

a₁₂ = b²/2m =7103,

a₂₁ = 2q – n²/2m =120,

a₂₂ = nb/2m – p=2608.

Получим систему уравнений:

2) Запишем систему (6) в матричной форме

, (7)

где

,

.

3) Запишем решение уравнения (7) в соответствии с формулой Коши в виде:

, (8)

где

– вектор начальных условий, а матричная экспонента определяется по формуле Лагранжа – Сильвестра

,

где l₁ , l₂ – собственные числа матрицы А. Е - единичная матрица.

Найдем собственные числа матрицы А из условия . Получим:

,

,

.

Из системы следует, что для нахождения и необходимо знать начальные значения и .

(начальное положение объекта) задано, неизвестно.

Для определения неизвестного начального значения множителя Лагранжа l(t₀), входящего в (8) необходимо:

а) запишем (8) для момента времени t₁

или

,

, (9)

где e₁₁ , е₁₂ , е₂₁ , е₂₂ – элементы матрицы (числа):

б) определим l(t₀) из первого уравнения системы (9)

Получили, что

Решаем уравнение (7):

4) Решив уравнение (7), запишем выражения для оптимальной траектории и оптимального управления:

- оптимальная траектория

- оптимальное управление