Математика. Экономико-математические методы и модели; метод математического моделирования в экономике; основные количественные характеристики мокро- и микроэкономического

Экономико-математические методы и модели; метод математического моделирования в экономике; основные количественные характеристики мокро- и микроэкономического анализа; основные абстрактные модели рыночной экономики; моделирование спроса и предложения

Рассмотрение экономических отношений и процессов с точки зрения выявления каких-либо функциональных взаимосвязей, пропорций или некоторых алгоритмов, характеризующих данные отношения и процессы, приводит к необходимости использования существующих экономико-математических методов и моделей для упрощенного отражения экономической действительности с помощью уравнений и графиков, описывающих взаимосвязи различных переменных.

Основные типы моделей

Математические модели, используемые в экономике, можно подразделять на классы по ряду признаков, относящихся к особенностям моделируемого объекта, цели моделирования и используемого инструментария: модели макро- и микроэкономические, теоретические и прикладные, оптимизационные и равновесные, статические и динамические.

Макроэкономические модели описывают экономику как единое целое, связывая между собой укрупненные материальные и финансовые показатели: ВНП, потребление, инвестиции, занятость, процентную ставку, количество денег и другие.

Микроэкономические модели описывают взаимодействие структурных и функциональных составляющих экономики, либо поведение отдельной такой составляющей в рыночной среде.

Вследствие разнообразия типов экономических элементов и форм их взаимодействия на рынке микроэкономическое моделирование занимает основную часть экономико-математической теории. Наиболее серьезные теоретические результаты в микроэкономическом моделировании в последние годы получены в исследовании стратегического поведения фирм в условиях олигополии с использованием аппарата теории игр.

Теоретические модели позволяют изучать общие свойства экономики и ее характерных элементов дедукцией выводов из формальных предпосылок. Прикладные модели дают возможность оценить параметры функционирования конкретного экономического объекта и сформулировать рекомендации для принятия практических решений. К прикладным относятся прежде всего эконометрические модели, оперирующие числовыми значениями экономических переменных и позволяющие статистически значимо оценивать их на основе имеющихся наблюдений.

В моделировании рыночной экономики особое место занимают равновесные модели. Они описывают такие состояния экономики, когда результирующая всех сил, стремящихся вывести ее из данного состояния, равна нулю. В нерыночной экономике неравновесие по одним параметрам (например, дефицит) компенсируется другими факторами (черный рынок, очереди и т.п.). Равновесные модели дескриптивны, описательны. В нашей стране долгое время преобладал нормативный подход в моделировании, основанный на оптимизации. Оптимизация в теории рыночной экономики присутствует в основном на микроуровне (максимизация полезности потребителем или прибыли фирмой); на макроуровне результатом рационального выбора поведения экономическими субъектами оказывается некоторое состояние равновесия.

В моделях статических описывается состояние экономического объекта в конкретный момент или период времени; динамические модели включают взаимосвязи переменных во времени. В статических моделях, обычно зафиксированы значения ряда величин, являющихся переменными в динамике, — например, капитальных ресурсов, цен и т.п. Динамическая модель не сводится к простой сумме ряда статических, а описывает силы и взаимодействия в экономике, определяющие ход ' процессов в ней. Динамические модели обычно используют аппарат дифференциальных и разностных уравнений, вариационного исчисления.

Детерминированные модели предполагают жесткие функциональные связи между переменными моделями. Стохастические модели допускают наличие случайных воздействий на исследуемые показатели и используют инструментарий теории вероятностей и математической статистики для их описания.

Математическая экономика и эконометрика

Математическая экономика — раздел экономической науки, занимающийся анализом свойств и решений математических моделей экономических процессов. В некоторых случаях эти модели могут рассматриваться как часть математической теории на стыке с экономической наукой. Математическая экономика отделяется обычно от эконометрики, занимающейся статистической оценкой и анализом экономических зависимостей и моделей на основе изучения эмпирических данных. В математической экономике исследуются теоретические модели, основанные на определенных формальных предпосылках (линейность, выпуклость, монотонность и т.п. зависимости, конкретные формулы взаимосвязи величин).

Математическая экономика, вообще говоря, не занимается изучением степени обоснованности того, что данная зависимость имеет тот или иной вид (например, что .величина потребления является линейной возрастающей функцией дохода), — это оставляется для эконометрики. Задачей математической экономики является изучение вопроса о существовании решения модели, условиях его неотрицательности, стационарности, наличия других свойств. Это обычно осуществляется, как и в математике, путем дедуктивного получения следствий (теорем) из априорно сделанных предпосылок (аксиом).

Разумеется, предметная область, методология и инструментарий экономической науки не исчерпываются подходами математической экономики ж эконометрики — обычно з экономических исследованиях используются также методы качественного анализа, индуктивные, эвристические подходы; перемежающийся с элементами: математической экономики и эконометрики. Таким образом, математическим экономяка выступает м как сшуюстоятельньш раздел экономической пауки, к каж сдкн из ее инструментов. При этом разделы математической экономией:, исследовавшиеся ранее в чисто теоозтическсж плаве, все больше становятся теорбтмч&пкой оазой и элементами прикладных исследований.

Среди моделей мйгематичесжой: экономики можно вьэд;?лкть два кпуп.нъгу класса. — модели равновесия а экоаоммчесжик системах и мсдапй экономического роста. Модели равновесия (например, модель Эрроу°Дебре, модель «затраты-выпуск» В. Леонтьевна) помагает исследовать состояния экономичеких систем, в которых равнодействующая всех внешних сил равна нулю. Это, вообще говоря, статистические модели, в то время как экономическая динамика описывается с помощью моделей роста (модель Харрода-Домара, модель Солоу, модель магистрального типа и др.) Ключивым моментом исследования моделей роста является анализ и отыскивание траекторий стационарного роста (роста с постоянным, в том или ином смысле, структурными характеристиками), к выходу на которые обычно стремиться описываемая моделью экономическая система. Исследование траекторий стационарного роста является одновременно базой для анализа более сложных типов роста и связующим звеном с моделями экономического равновесия (поскольку отыскание такой траектории равнозначно отысканию меняющегося вполне определенным образом равновесного состояния). Значительный вклад в теорию роста внесли работы фон Неймана, Солоу, Гейла, Моришимы и др.

Эконометрика — наука исследующая количественные закономерности и взаимозависимости в экономике при помощи методов математической статистики. Основа этих методов — корреляционно-регрессионный анализ. Использование современных методов математической статистики началось в биологии. В последней четверти XIX века английский биолог К.Пирсон положил начало современной математической статистике изучением кривых распределения числовых- характеристик человеческого организма. Затем он и его школа перешли к изучению корреляций в биологии и построению линейных функций регрессии.

Первые работы по эконометрике появились в конце XIX — начале XX века. В 1897 г. появилась работа одного из основателей математической школы в экономической теории В.Парето, посвященная статистическому изучению доходов населения в разных странах. Была предложена кривая Парето y=A(x-a)^-a где х — величина дохода; у —численность лиц, имеющих доход, больший х; а — минимальный доход; А и а — параметры зависимости, получаемые статистическими методами.

В самом начале XX века вышло несколько работ английского статистика Гукера, в которых он применил корреляционно-регрессионные методы, разработанные Пирсоном и его школой, для изучения взаимосвязей экономических показателей, в частности — влияния числа банкротств на товарной бирже на цену зерна. В работах Гукера содержалась идея временного лага между экономическими переменными, а также идея корреляционного анализа не самих величин, а их приращений. В дальнейшем появилось огромное число работ как по развитию теории математической статистики и ее прикладных элементов, так и по практическому приложению этих методов в экономическом анализе. К первой группе могут быть, например, отнесены работы Р.Фишера по дисперсионному анализу, ко второй — работы по оценке, и исследованию производственных функций, в частности — классическая работа Кобба и Дугласа 1928 г.

Эконометрические модели и методы сейчас — это не только мощный инструментарий для получения новых знаний в экономике, но и широко прюленяемый аппарат д.ля принятия практических решений в прогнозирования, банковском деле, бизнесе,¹

Выявление функционалъных взаимосвязей между элементами, описывающими экон омические отношения и процессы, позволяет сделать вывод о том, что методы

Математического моделирования в экономики представляют собой не что иное, как совокупность способов и приемов познания экономических отношений и процессов на уровне как отдельных хозяйственных единиц, так и экономической системы в целом.

Моделирование в экономике и его использование в развитии и формализации экономической теории

Современная эконмическая теория как на микро-, так и на макроуровне включает как естественный, необходимый элемент математической модели и методы. Использование математики в экономике позволяет, во-первых, выделить и формализованно описать наиболее важные, существенные связи экономических переменных и объектов: изучение столь сложного объекта предпологает высокую степень абстракции. Во-вторых, из четко сформулированных исходных данных и соотношений методами дедукции можно получать выводы, адекватные изучаемому объекту в той же мере, что и сделанные предпосылки. В-третьих, методы математики и статистики позволяют индуктивным путем получать новые знания об объекте: оценивать форму и параметры зависимостей его переменных, в наибольшей степени соответствующие имеющимся наблюдениям. Наконец, в-четвертых, использование языка математики позволяет точно и компактно излагать положения экономической теории, формулировать ее понятия и выводы.

Математические модели использовались с иллюстративными и исследовательскими целями еще Ф.Кенэ (1758 г., «Экономическая таблица»), А.Смитом (классическая макроэкономическая модель), Д.Рикардо (модель международной торговли). В XIX веке большой вклад в моделирование рыночной экономики внесла математическая школа (Л.Вальрас, О.Курно, В.Парето, Ф.Эджворт и др.). В XX веке математические методы моделирования применялись очень широко, с их использованием связаны практически все работы, удостоенные Нобелевской премии по экономике (Д.Хикс, Р.Солоу, В.Леонтьев, П.Самуэльсон и др.).

Развитие микроэкономики, макроэкономики, прикладных дисциплин связано со все более высоким уровнем их формализации. Основу для этого заложил прогресс в области прикладной математики — теории игр, математического программирования, математической статистики. В России в начале XX века большой вклад в математическое моделирование экономики внесли В.К. Дмитриев и Е.Е. Слуцкий. В 1930-1950 гг. в этой области не наблюдалось прогресса вследствие идеологических ограничений тоталитарного режима. В 1960-1980 годы экономико-математическое направление возродилось (B.C. Немчинов, В.В. Новожилов, Л.В. Канторович), но было связано в основном с попытками формально описать «систему оптимального функционирования социалистической экономики» (Н.П. Федоренко, С.С. Шаталин и др.). Строились многоуровневые системы моделей народно-хозяйственного планирования, оптимизационные модели отраслей и предприятий. Сейчас важной задачей является моделирование процессов переходного периода.

Любое экономическое исследование всегда предполагает объединение теории (экономической модели) и практики (статистических данных). Мы используем теоретические модели для описания и объяснения наблюдаемых процессов и собираем статистические данные с целью эмпирического построения и обоснования моделей.

Экономические модели. Понятие экономической модели.

Для изучения различных экономических явлений экономисты используют их упрощенные формальные описания, называемые экономическими моделями. Примерами экономических моделей являются модели потребительского выбора, модели фирмы, модели экономического роста, модели равновесия на товарных, факторных и финансовых рынках и многие другие. Строя модели, экономисты выявляют существенные факторы, определяющие исследуемое явление и отбрасывают детали, несущественные для решения поставленной проблемы. Формализация основных особенностей функционирования экономических объектов позволяет оценить возможные последствия воздействия на них и использовать такие оценки в управлении.

Как обычно строится экономическая модель?

1. Формулируются предмет и цели исследования.

2. В рассматриваемой экономической системе выделяются структурные или функциональные элементы, соответствующие данной цели, выявляются наиболее важные качественные характеристики этих элементов.

3. Словесно, качественно описываются взаимосвязи между элементами модели.

4. Вводятся символические обозначения для учитываемых характеристик экономического объекта и формализуются, насколько возможно, взаимосвязи между ними. Тем самым формулируется математическая модель.

5. Проводятся расчеты по математической модели и анализ полученного решения.

модели и ее

Математическая структура модели и ее содержательная интерпритация

Следует различать математическую структуру модели и ее содержательную интерпретацию. Рассмотрим следующие два простых примера.

Пример 1. Пусть требуется определить, какую сумму следует положить в банк при заданной ставке процента (20% годовых), чтобы через год получить $12 ООО?

Вводя формальные обозначения для величин, фигурирующих в задаче:

начальная сумма денег — М₀,

конечная сумма денег — m₁ ,

ставка процента — R

и записывая соотношение между ними

Пример 2. Пусть требуется определить, каков был объем выпуска продукции завода, если в результате технического перевооружения средняя производительность труда увеличилась на 20% и завод стал выпускать 12000 единиц продукции.

Вводя формальные обозначения для величин, фигурирующих в задаче:

начальный выпуск— Q₀

конечный выпуск— Q₁

процент прироста производительности — R

и записывая соотношение между ними (следующее из определения средней производительности труда Q/L)

найдем искомую величину из решения основного уравнения модели

Сравнивая полученные модели и результаты, мы можем заметить, что математическая форма модели

и даже числовые значения входящих в нее величин в обоих случаях одинаковы, однако экономическая ситуация, описываемая моделью, экономическая интерпретация модели и результатов расчета совершенно различны. Таким образом, одни и те же математические модели и методы могут быть использованы для решения совершенно различных экономических задач.

Роль моделей в экономической теории и принятии решений

Экономические модели позволяют выявить особенности функционирования экономического объекта и на основе этого предсказывать будущее поведение объекта при каких-либо параметров. Предсказание будущих изменений, например; обменного курса, ухудшение экономической конъюнктуры, падение прибыли может опираться лишь на интуицию. Однако при этом могут быть упущены, неправильно определены или неверно оценены важные взаимосвязи экономических показателей, влияющие на рассматриваемую ситуацию. В модели все взаимосвязи переменных могут быть оценешл количественно, что позволяет получить более качественный и надежный прогноз.

Для любого экономического субъекта возможность прогнозирования ситуации всего получение лучших результатов или избежание потерь, в том числе и в государственной политике.

Неполнота экономической модели

По своему определению любая экономическая -модель абстрактна и, следовательно;

неполна, поскольку выделяя наиболее существенные факторы, определяющие закономерности функционирования рассматриваемого экономического объекта, она , абстрагируется от других факторов которые, несмотря на свою относительную малость, все же в совокупности могут определять не только отклонения в поведении объекта., но и само . его поведение Так, в простейшей модели спроса считается, что величина спроса на какой-либо товар определяется его ценой и доходом потребителя. На самом же деле на величину спроса оказывает также влияние ряд других факторов: вкусы и ожидания потребителей, цены на другие товары, воздействие рекламы, моды и так далее. Обычно предполагают, что все факторы; не учтенные явно в экономической модели, оказывают на объект относительно малое результирующее воздействие в интересующем нас аспекте. Состав учтенных в модели факторов и ее структура могут быть уточнены в ходе совершенствования модели.

Математическая модель и ееосновные элементы

Математическая модель экономического объекта — это его гомоморфное отображение в виде совокупности уравнений, неравенств, логических отношений, графиков. Гомоморфное отображение объединяет группы отношений элементов изучаемого объекта в аналогичные отношения элементов модели. Иными словами, модель — это условный образ объекта, построенный для упрощения его исследования. Предполагается, что изучение модели дает новые знания об объекте, либо позволяет определить наилучшие решения в той или иной ситуации.

Для описания основных видов элементов экономической модели рассмотрим конкретную ситуацию и построю соответствующую ей модель.

Пусть имеется фирма, выпускающая несколько видов продукции. В процессе производства используются три вида ресурсов: оборудование, рабочая сила и сырье; эти ресурсы однородны, количества их известны и в данном производственном цикле увеличены быть не могут. Задан расход каждого из ресурсов на производство единицы продукции каждого вида. Заданы цены продуктов. Нужно определить объемы производства с целью максимизации стоимости произведенной- продукции (или, в предположении, что вся она найдет сбыт на рынке, — общей выручки от реализации).

Для решения поставленной задачи нужно построить математическую модель, наполнить ее информацией, а затем провести по ней необходимые расчеты. Вначале при построении модели нужно определить индексы, экзогенные и эндогенные переменные и параметры. В нашей задаче свой индекс должен иметь каждый вид продукции (пусть это индекс i, меняющийся от 1 до n), а также вид ресурсов (если мы обозначаем их одной переменной, пусть в нашей задаче ресурсы обозначены разными переменными). Далее опишем экзогенные переменные — те, которые задаются вне модели, т.е. известны заранее, и параметры: — это коэффициенты уравнений модели. Часто экзогенные переменные и параметры в моделях не разделяют. В рассматриваемой задаче заданы экзогенные переменные — имеющиеся количества оборудования К, рабочей силы L и сырья R,заданы параметры — коэффициенты их расхода на единицу i - ой продукции k_i, l_i и r_i соответственно. Цены продуктов р_i известны.

Далее вводятся обозначения, для эндогенных переменных — тех, которые определяются в ходе расчетов по модели и не задаются в ней извне. В нашем случае — это неизвестные объемы производства продукции каждого i - то вида; обозначим их х_i.

Закончив описание переменных и параметров, переходят к формализации условий задачи, к описанию ее допустимого множества м целевой функции (если таковая имеется). В нашей задаче допустимое множество — это совокупность всех вариантов производства, обеспеченных имеюшимися ресурсами. Оно описывается с помощью системы неравенств:

К этим ограничениям по ресурсам добавляются требования неотрицательности переменных х, 0. Если бы какой-то ресурс нужно было израсходовать полностью (например; полностью занять всю рабочую силу), соответствующее неравенство превратилось бы в уравнение. Это сузило бы допустимое множество и, возможно, исключило бы из него первоначально наилучшее решение.

Если модель является оптимизационной (а данная модель такова), то наряду с ограничениями должна быть выписана целевая функция, т.е. максимизируемая или минимизируемая величина; отражающая интересы принимающего решение субъекта. Для данной задачи максимизируется

Поставленная задача далеко не всегда хорошо описывает ситуацию и соответствует задачам лица, принимающего решение (ЛПР). В действительности, по крайней мере:

1) ресурсы до некоторой степени взаимозаменяемы;

2) затраты ресурсов не строго пропорциональны выпуску (есть постоянные затраты, не связанные с объемом выпуска; предельные затраты меняются);

3) объемы ресурсов не строго фиксированы, они могут покупаться и продаваться, браться или сдаваться в аренду;

4) внутри каждого вида ресурсов можно выделить составляющие, функционально или качественно различные, в той или иной мере заменяющие или дополняющие друг друга и по-разному влияющие на объем выпуска;

5) цена продукта может зависеть от объема его реализации, то же касается цены ресурса;

6) фирма может использовать одну из конечного набора технологий (или сочетание нескольких таких технологий), характеризующихся определенными сочетаниями используемых ресурсов;

7) различные единицы получаемой прибыли могут иметь разную ценность для лица, принимающего решение (что обусловлено, например, особенностями налоговой системы);

8) интересы и предпочтения субъекта не ограничиваются максимизацией объема прибыли, поэтому целевая функция должна учитывать и другие количественные и качественные показатели;

9) для субъекта реально решаемая задача не ограничивается одним моментом или периодом времени, важны динамические взаимосвязи;

10) на ситуацию могут воздействовать случайные факторы, которые необходимо принять во внимание.

Многие разделы экономической теории посвящены изучению, описанию и моделированию перечисленных аспектов на различных уровнях хозяйственной деятельности, с той или иной степенью детализации и в различных сочетаниях.¹

Фиксация двух уровней исследования экономических отношений и процессов — макро-и микроэкономического — обусловливает и необходимость использования различных способов их математического отображения. При этом отметим, что основные количественные характеристики мокро- и микроэкономического анализа формируются на основе математического отображения экономической деятельности субъектов экономики: государства, фирм и домашних хозяйств.

Определение и геометрическая интерпретация суммарных средних и предельных величин

Суммарная величина (F(x) ). Под суммарной величиной мы будем понимать любую функцию независимой переменной F(x). Как правило, в экономике под суммарными понимаются абсолютные величины, но, вообще говоря, формальное понятие суммарной величины является относительным (то есть любая величина может рассматриваться как суммарная по отношению к другим, своим предельным и средним величинам). В экономике в роли суммарных величин выступают: доход (выручка) или издержки как функции объема выпуска (R(Q) или С(Q)). объем выпуска как функция от количества переменного ресурса, например труда, — Q(L), полезность как функция количества потребляемого блага U{x) и другие экономические показатели. Любая из перечисленных функций может быть задана в виде формулы, например, F(x) = ax² - bx; графика, например, показанного на рис. 8.4.1.

Средняя величина (AF(x)) определяется как отношение суммарной величины к независимой переменной AF(x)=F(x)/x. Буква А — сокращение от average (средняя).

Средняя величина может обозначаться также = AF(x'). Примеры средних величин в экономике: средне душевой объем потребления, средняя фондоотдача, средняя выручка (доход) AR=R(Q)/Q, средние издержки АС =C(Q)/Q, средний продукт труда AQ_L =Q(L)/L и т.д.

Средняя величина, как функция независимой переменной, также может задаваться в формульном или графическом виде.

Маржинальная (предельная) величина (MF{x)) определяется как производная суммарной величины F(x) по независимой переменной х: MF(x) = F'(x) = в случае, когда независимая переменная меняется непрерывно. Если суммарная величина меняется дискретно, то под маржинальной (предельной) величиной понимают отношение изменения F(x) суммарной величины F(x) к вызвавшему это изменение изменению (приращению) х независимой переменной х: MF(x) = . В этом случае маржинальную (предельную) величину можно интерпретировать как изменение суммарной величины, вызванное увеличением независимой переменной на единицу (в соответствующем масштабе). Примеры предельных величин в экономике: предельная выручка (доход) MR==R'(Q) или , предельные издержки МС==С'(Q) или , предельный продукт труда MQ_L,=Q’(L) или —, предельная полезность MU_x=U'(x) или и т.д.

Предельная величина, как и все предыдущие, может задаваться формулой или в графическом виде.

Встречаясь с этими величинами в экономике, часто приходится использовать соотношения между ними (например, между суммарными, средними и предельными издержками) и решать задачи на нахождение по одной из этих величин двух других (например, среднего и предельного дохода по суммарному доходу).

Задачи, решаемые экономической наукой и практикой, делятся в зависимости от учета фактора времени на статические и динамические. Статика изучает состояния экономических объектов, относящиеся к определенному моменту или периоду времени, без учета изменения их параметров во времени. В динамических задачах отражается не только зависимость переменных от времени, но и их взаимосвязи во времени. Например, динамика инвестиций определяет динамику величин основного капитала, что в свою очередь является важнейшим фактором изменения объема выпуска.

Время в экономической динамике может рассматриваться как непрерывное или дискретное. Непрерывное время удобно для моделирования, так как позволяет использовать аппарат дифференциального исчисления и дифференциальных уравнений. Дискретное время удобно для приложений, поскольку статистические данные всегда дискретны и относятся к конкретным единицам времени. Для дискретного времени может использоваться аппарат разностных уравнений. Заметим, что большинство известных моделей экономической динамики существуют как в непрерывном, так и в дискретном вариантах. В обоих вариантах для них могут быть получены, как правило, аналогичные результаты, и уровень сложности самих моделей примерно одинаков.¹

Показатели экономической динамики

Показатели, характеризующие динамику экономического объекта, — это абсолютные приросты, темпы роста и прироста.

Если рассматривается зависящая от времени величина A(t), то абсолютный прирост от момента 0 до момента 1 равен А(1) = А(1) - А(0), дискретный темп роста ₁ =A(1)/А(0), дискретный темп прироста = ₁ -1 = (A(1)-A(0))/A(0) Отметим, что в англоязычной литературе термином «growth rate» («темп роста») называют обычно показатель а = ₁ -1, то есть темп прироста в нашей терминологии.

Если темп прироста а неизменен во времени, то динамика показателя A(t) может

быть описана как A(t) = А(0)(1 + )^t,

Поскольку ( )<0, величина в квадратных скобках стремится к единице, и темп прироста суммы приближается к темпу быстрее растущего составляющего, то есть к .

Пусть величина P(t) есть произведение A(t) и B(t) с непрерывными темпами прироста а и р, В этом случае:

то есть темп прироста произведения равен сумме темпов прироста сомножителей. Если и — дискретные темпы прироста A(t) и B(t), то

При малых а и f3 величина а]в пренебрежимо мала, и темп прироста произведения приближенно равен сумме темпов прироста сомножителей. Если же произведение значительно, то темп прироста произведения не может приближенно считаться равным сумме темпов прироста сомножителей, поскольку существенно ее превышает.

Связь объемных и темповых величин легко продемонстрировать на примере производственной функции (ПФ). Пусть Y(t), K(t), L(t) — объемные показатели выпуска, капитала и труда (непрерывные функции времени), a y(t), k(t), l(t) — непрерывные темпы их прироста. Объемная ПФ с нейтральным техническим прогрессом (при постоянном темпе последнего, равном у ) имеет вид

где a(t) и (t) — эластичности выпуска по капиталу и труду соответственно.

Эта линейная формула характеризует вклад темпов прироста факторов производства в общие темпы прироста дохода, а показатель у характеризует вклад технического прогресса.¹

Несмотря на то, что построение модели основывается на экономических данных, представляющих собой факты, выраженные, как правило, в виде чисел, которые дают информацию об экономических переменных, тем не менее использование математического инструментария позволяет зафиксировать абстрактные модели рыночной экономики, построенные на фактах.

Модель макроэкономической динамики. Модель Харрода-Домара.

В качестве примера модели с непрерывным временем рассмотрим модель макроэкономической динамики (простейший ее вариант — модель Харрода-Домара). Модель описывает динамику дохода Y(t), который рассматривается как сумма потребления С(t) и инвестиций I(t). Экономика считается закрытой; поэтому чистый экспорт равен нулю, а государственные расходы в модели не выделяются. Основная предпосылка модели роста — формула взаимосвязи между инвестициями и скоростью роста дохода. Предполагается, что скорость роста дохода пропорциональна инвестициям: I(t) == В*(dY/dt), где В — коэффициент капиталоемкости прироста дохода, или приростной капиталоемкости (соответственно, обратная ему величина 1/B называется приростнойкапиталоотдачей. Тем самым в модель фактически включаются следующие предпосылки:

- инвестиционный лаг равен нулю: инвестиции мгновенно переходят в прирост капитала. Формально это означает, что K(t) = I(t), где K(t) — непрерывная функция прироста капитала во времени

- выбытие капитала отсутствует;

- производственная функция в модели линейна; это вытекает из пропорциональности прироста дохода приросту капитала:

dY{t)=1/BdK{t)dt. (8.4.13)

Линейная производственная функция Y(t) == aL{t) + bK(t) + с,

где b = 1/B, обладает этим свойством в том случае, если либо а == 0, либо L(t) -= const.

Тем самым следующая предпосылка такова:

- затраты труда постоянны во времени, либо выпуск не зависит от затрат труда, поскольку труд не является дефицитным ресурсом;

- модель не учитывает технического прогресса.

Перечисленные предпосылки, конечно, существенно огрубляют описание динамики реальных макроэкономических процессов, делают затруднительным применение данной модели, например, для непосредственного расчета или прогноза величины совокупного выпуска или дохода. Однако данная модель и не предназначена для этого; в то же время ее относительная простота позволяет более глубоко изучить взаимосвязь динамики инвестиций и роста выпуска, получить точные формулы траекторий рассматриваемых параметров при сделанных предпосылках.

Зависимость, связывающая между собой во времени показатели инвестиций, определяемый ими объем основного капитала и уровень выпуска (дохода), является базовой во всех моделях макроэкономической динамики. Кроме того, в этих моделях необходимо определить принципы формирования структуры выпуска (дохода), распределения его между составляющими, прежде всего — между потреблением и накоплением.

Эти принципы могут основываться на оптимизационном подходе (обычно это максимизация совокупных объемов потребления в той или иной форме), экстраполяционном, равновесном и других. В рассматриваемой модели предполагается, что динамика объема потребления C(t) задается экзогенно. Этот показатель может считаться постоянным во времени, расти с заданным постоянным темпом или иметь какую-либо другую динамику.

Простейший вариант модели получается, если считать С(t) = 0. Этот случай совершенно нереалистичен с практической точки зрения, однако в нем все ресурсы направляются на инвестиции, в результате чего могут быть определены максимальные технически возможные темпы роста. В этом случае получаем:

Y(t)=C(t)+I(t)=0+BdY(t)/dt=BY’(t). (8.4.14)

Это — линейное однородное дифференциальное уравнение, и его решение имеет вид Y(t) = У(О)e^{(1/B) t} (что легко проверить дифференцированием). Непрерывный темп прироста здесь равен —1/B. Это максимально возможный (технологический) темп прироста.¹

Модель Солон

Другой тип модели экономического роста представляет модель, предложенную лауреатом Нобелевской премии Р.Солоу. По сравнению с уже рассмотренной моделью роста модель Солоу позволяет более точно описать некоторые особенности макроэкономических процессов. Во-первых, производственная функция в этой модели нелинейна и обладает свойством убывания предельной производительности. Во-вторых, модель учитывает выбытие основного капитала. В-третьих, в модель Солоу включается описание динамики трудовых ресурсов и технического прогресса и их влияние на экономический рост. В-четвертых, здесь ставится и решается задача максимизации уровня потребления на некотором множестве устойчивых траекторий. Все это, конечно, усложняет структуру модели и получение точных формул для траекторий изменения основных ее показателей становится существенно более сложной задачей.

Поэтому некоторые другие аспекты описываются в базовой модели Солоу упрощенно: например, считаются постоянными норма сбережений и норма выбытия капитала, инвестиционные лаги отсутствуют, а производственная функция имеет постоянную отдачу от масштаба. Кроме того, на начальном уровне анализа модели ищутся не траектории изменения всех ее показателей (как в модели Харрода-Домара), а характеристики состоянии устойчивого равновесия, к которым система выходит в долгосрочном периоде. С формальной точки зрения это представляет собой существенно более простую задачу.

Предпосылки и обозначения модели Солоу:

- производственная функция имеет вид Y •= F(K,L) (У — выпуск или доход, К —капитал, L — труд). Отдача от масштаба постоянна: F( K, L) = F (К, L). Предельная производительность факторов положительна, но убывает:

У'_k>0; У'_L >0; У'_kk <0; У'_LL <0; (8.4.15)

- величина выбытия капитала W непропорциональна его величине К :

W= K, (8.4.16)

где —норма выбытия;

- норма сбережений (инвестиций) а постоянна, и инвестиции I равны а • Y;

- доход распределяется на потребление и инвестиции: Y = С + I;

- численность занятых L растет с постоянным темпом п;

- трудосберегающий технический прогресс имеет темп g, то есть число единиц труда с постоянной эффективностью в расчете на одного работающего растет с темпом g.

При сделанных предпосылках производственную функцию можно Y рассматривать как зависимость производительности труда у = Y/L — от его капиталовооружённости k= K/L; у = f(k) (здесь L — число единиц труда с постоянной эффективностью, то есть численность занятых работников при отсутствии трудосберегающего технического прогресса, либо численность условных работников с одинаковой эффективностью при его наличии).

Это вытекает из того, что Y = F (К, L) = LF = LF (k).

Инвестиции приводят к росту капиталовооруженности, а выбытие капитала, рост численности работающих и числа единиц труда с постоянной эффективностью — к ее снижению. Прирост капиталовооруженности k в результате инвестиций равен i=I/L. Темп снижения капиталовооруженности за счет остальных факторов равен (6+n+g) (в точности равен, если Y, К, L — непрерывные функции времени, и приближенно равен в дискретном случае при малых , n, g). Величина снижения капиталовооруженности за счет этих факторов равна ( + п + g) k.

Величина k находится в состоянии устойчивого равновесия, если ее прирост за счет инвестиций равен ее уменьшению за счет других факторов. Поскольку Y = С +I, после деления этого тождества на L имеем у = с + i, где у — доход, с — потребление, a i —инвестиции на одну единицу труда с постоянной эффективностью. Следовательно, величина i равна f(k). Условие стабильности показателя k, таким образом, записывается как

и величина k * называется устойчивым уровнем капиталовооруженности.¹

Одной из основных моделей, описывающих механизмы рыночной экономики, является модель спроса и предложения, которая отображает двойное соотношение: во-первых, соотношение более общего порядка между ценой на продукцию и тем его количеством, которое желают и способны приобрести потребители и, во-вторых, желают и способны произвести фирмы.

Виды эластичностей в экономике

Эластичность спроса по цене (прямая)

показывающая относительное изменение (выраженное в процентах) величины спроса на какой-либо товар при изменении этого товара на один процент и характеризующая чувствительность потребителей к изменению цен на продукцию. Если ценовая эластичность спроса по абсолютной величине больше единицы, то. спрос называют эластичным (совершенно эластичньм при бесконечно большой величине эластичности спроса). Если: ценовая эластичность спроса по абсолютной величине меньше единицы, то спрос называют неэластичным (совершенно неэластичным при нулевой эластичности спроса).

И, наконец, если ценовая эластичность по абсолютной единице, то говорят о спросе с эластичностью.

Эластичность спроса по доходу

характеризует относительное изменение (в процентах) величины спроса на какой-либо товар при изменении дохода потребителей этого товара на один процент. Положительная эластичность спроса по доходу характеризует нормальные (качественные) товары, а отрицательная величина-малоценные (некачественные) товары.

Так, высокий положительный коэффициент спроса по доходу в отрасли указывает, что ее вклад в экономический рост больше, чем доля в структуре экономики, и она имеет шансы на расширение и процветание в будущем. Наоборот, если коэффициент эластичности спроса на продукцию отрасли по доходу имеет небольшое положительное или отрицательное значение, то ее может ожидать застой и перспектива сокращения производства.

Перекрестная эластичность спроса по цене

характеризует относительное изменение (в процентах) величины спроса на один товар при изменении цены на другой товар (замещающий или дополняющий его в потреблении) на один , процент. Положительный перекрестной эластичности спроса по цене свидетельствует о замещаемости товаров, а отрицательный — о дополняемости.

Ценовая эластичность ресурсов

характеризует относительное изменение (в процентах) величины спроса на какой-либо ресурс (например, труд) этого ресурса (соответственно, заработной платы) на один процент.

Эластичность замещения одного ресурса другим

характеризующая (в процентах) величины одного ресурса (например, капитала) другого ресурса (например, труда) на один процент с тем, чтобы выпуск этом не изменился.¹

Связь эластичности с выручкой продавцов (расходами покупателей)

Эластичность выручки от какого-либо товара тесно связана с эластичностью спроса на этот товав. Используя формулу для выручки R = ра и формулу для эластичности произведения футжщш, получаем

так как эластичность спроса по всегда отрицательна (поскольку р'(д) < 0).

Из полученной формулы видно, что эластичность выручки по по цене отрицательна (Ер (R) < 0) для товаров, спрос на которые эластичен (| Е (q) | > 1), и положительна (Е (R) > 0) для товаров, спрос на которые неэластичен (| E (g) | < 1).

Это означает, что если спрос неэластичен то, изменение цены приведет к изменение выручки в том же направлении и продавцам выгодно повышать цену (что приводит к увеличению их. выручки). Для эластичного спроса изменение выручки происходит в направлении, противоположном изменению цены и для повышения выручки продавцам выгодно понижать цену.

Аналогично; повышение налога на товар с эластичным спросом повлечет за собой сокращение дохода от налогообложения. При эластичном спросе выручка растет с увеличением количества или уменьшением цены, а при неэластичном — падает. Например, доходы фермеров сократятся при хорошем урожае, поскольку эластичность спроса на сельскохозяйственную продукцию достаточно низка.

Аналогично, повышение цен на государственных предприятиях с целью увеличения поступлений в бюджет, например, повышение цен на железнодорожные билеты, может привести к сокращению поступлений в бюджет, если спрос на соответствующий товар или услугу окажется эластичным. цены и предельных издержек монополиста

Связь цены и предельных издержек.

Мы знаем, что совершенно конкурентная фирма, т.е. фирма, функционирующая в условиях совершенной (чистой) конкуренции, устанавливает цену на свою продукцию, равную предельным издержкам: р_c = МС. Монополист же назначает цену на свою продукцию выше предельных издержек: р_v = МС(1 + s), где s — надбавка к издержкам, которая может составлять 10, 20 или 30%... Возникает вопрос, как выбрать величину этой надбавки. При более детальном рассмотрении этого вопроса оказывается, что величина надбавки тесно связана с эластичностью.

Действительно, записывая условие максимизации прибыли, как разницы между выручкой и издержками = R - С :

вычислим предельную выручку

и приравняем ее к предельным издержкам (MR = МС). Получим соотношение

из которого следует, что надбавка к предельным издержкам в цене должна быть тем меньше, чем выше эластичность спроса.

Эта же формула позволяет объяснить, как происходит сегментация рынка монопольным производителем с целью дискриминации потребителей и получения от этого дополнительной прибыли. Обычно мы рассматриваем однородный рынок какой-либо продукции, на котором все покупатели платят за единицу товара одну и ту же цену. Однако, если монополист может устойчиво разделить покупателей по какому-либо признаку на две или большее число групп, например, выделяя в отдельную группу студентов при покупке железнодорожных или авиабилетов, то ему выгоднее установить для различных групп различные цены и, таким образом, сегментировать рынок. При этом суммарная выручка от продаж на двух рынках одного товара (или услуги) будет максимальна при равенстве предельных доходов от каждого из рынков (в противном случае было бы выгодно перераспределить объем продаж в пользу рынка с большим предельным доходом). Таким образом,

Следовательно, те покупатели, спрос которых на товар менее эластичен, будут платить за него большую цену.¹