Способ замены плоскостей проекций

Сущность способа состоит в том, что положение изображаемой фигуры в пространстве остаётся неизменным, а исходная система плоскостей проекций, относительно которой задана фигура, заменяется новой.

При выборе новой плоскости проекций должен быть выполнен основной принцип ортогонального проецирования (метода Монжа) – взаимной перпендикулярности плоскостей проекций, т.е. новую плоскость проекций необходимо обязательно располагать перпендикулярно одной из основных исходных плоскостей проекций.

Пусть задана система плоскостей проекций П₁ и П₂ ( в дальнейшем будем обозначать сокращенно ). Спроецируем какую-либо точку А на эти плоскости и найдем ее проекции А₂ и А₁ (рис. 9.5).

Предположим, что при решении какой-либо задачи мы нашли целесообразным заменить плоскость П₂ другой фронтальной плоскостью П₄, перпендикулярной к плоскости П₁. Линия пересечения плоскостей проекций П₁ и П₄ называется новой осью проекций и обозначается Х₁. Построим ортогональные проекции точки А в системе . Так как, плоскость П₁ осталась прежней, то и проекция точки А на эту плоскость на изменит своего положения.

Для получения новой фронтальной проекции точки на новую плоскость П₄ опускаем перпендикуляр из А на плоскость П₄. Основание А₄ этого перпендикуляра определяет искомую фронтальную проекцию точки А.

Рис .9.5

Установим, какая связь существует между проекциями А(А₁, А₂) и А(А₁ А₄) одной и той же точки в обеих системах.

Горизонтальная проекция у них общая и так как расстояние точки А от плоскости П₁ не изменилось, то /АА₁/=/А₂А_x/=/А₄А_x1¹ /, т. е. расстояние новой фронтальной проекции до новой оси равно расстоянию заменяемой проекции до предыдущей оси.

Чтобы перейти к эпюру, повернём плоскость П₄ вокруг оси Х₁ и совместим с плоскостью П₁. Тогда и новая фронтальная проекция А₄ совместится с плоскостью П₁ и при этом окажется на одном перпендикуляре к оси х₁ с проекцией А₁.

На рис. 9.6 показаны те построения, которые надо произвести на эпюре, Чтобы от проекций (А₁, А₂) точки А в системе перейти к проекциям A₁А₄) той же точки в системе , необходимо: провести новую ось проекций Х₁, которая определяет положение горизонтально-проецирующей плоскости П₄, затем из горизонтальной проекции точки А₁ опустить перпендикуляр на новую ось Х₁. На построенном перпендикуляре отложить (от новой оси) отрезок А_x А₄=А_xА₂. Полученная таким образом точка А₄ является проекцией точки А на плоскость П₄.

Рис 9.6

Замена горизонтальной плоскости П₁ новой плоскостью П₄ и построение новых проекций точки А в системе осуществляется аналогично рассмотренному случаю, с той лишь разницей, что теперь остается без изменения фронтальная проекция точки, а для нахождения новой горизонтальной проекции А₄ точки А необходимо из фронтальной проекции точки А₂ опустить перпендикуляр на новую ось Х₁ и отложить на нем от точки пересечения с осью Х₁ отрезок А₄ А_{x¹ ,} равный расстоянию старой горизонтальной проекции от старой оси А₁А_х (рис. 9.7).

Рис. 9.7

Рассмотренные примеры позволяют установить следующее общее правило: для того, чтобы построить проекцию точки в новой системе плоскостей проекций, необходимо из неизменяемой проекции точки опустить перпендикуляр на новую ось проекций и отложить на нем от новой оси до новой проекции расстояние, равное расстоянию от заменяемой проекции до предыдущей оси.