Электроемкость уединенного проводника

Рассмотрим проводник, находящийся в однородной среде вдали от заряженных тел и других проводников. Такой проводник назовем уединенным. Ранее было показано, что при сообщении уединенному проводнику некоторого количества электричества заряды распределяются по его поверхности с различной поверхностной плотностью s. Однако характер этого распределения за­висит не от его общего заряда q, а только от формы проводника. Каждая новая часть зарядов распределяется по поверхности проводника подобно предыдущей. Таким образом, при увеличении в п раз заряда q проводника во столько же раз возрастает и s в любой точке его поверхности. Иными словами s прямо пропорциональна q, т. е.

s = k×q, (18.4)

где k—некоторая функция координат рассматриваемой точки поверхности.

Разобьем поверхность S проводника на бесконечно малые элементы dS, несущие заряды dq= s • dS. Каждый такой заряд можно считать точечным и равным . Потенциал dj поля заряда s • dS в точке, отстоящей от него на расстоянии r, равен

Интегрируя это выражение по всей замкнутой поверхности S заряженного проводника, находим потенциал в произвольной точке его электростатического поля:

(18.5)

Заменяя s по формуле (18.4) и вынося q за знак интеграла, получаем:

. (18.6)

Для точки, лежащей на поверхности проводника, r является функцией координат этой точки и элемента dS. В этом случае интеграл, стоящий в правой части уравнения (18.6), зависит только от размеров и формы поверхности S проводника. Выбор точки на поверхности S не играет роли, так как для всех точек проводника j = const и значения одинаковы.

В формулах (18.5) и (18.6) принято, что потенциал незаряженного уединенного проводника (q = 0 и s = 0) равен нулю, так как предполагается отсутствие всех внешних электрических полей.

Из формулы (18.6) видно, что потенциал уединенного проводника прямо пропорционален его заряду. Отношение q к j для данного проводника называется егоэлектрической емкостью (электроемкостью, или простоемкостью) С, т. е.

(18.7)

или

(18.8)

Электроемкость уединенного проводника численно равна электрическому заряду, который нужно сообщить этому проводнику для того, чтобы потенциал проводника изменился на единицу.

Электроемкость уединенного проводника зависит от его формы и размеров (интеграл в (18.8)), причем геометрически подобные проводники обладают емкостями, прямо пропорциональными их линейным размерам. Это связано с тем, что на геометрически подобных проводниках распределение зарядов тоже будет подобным, а расстояния от аналогичных зарядов до соответствующих точек поля прямо пропорциональны линейным размерам проводников.

Из (18.8) следует, что электроемкость прямо пропорциональна диэлектрической проницаемости среды.

Ни от материала проводника, ни от его агрегатного состояния, ни от формы и размеров возможных полостей внутри проводника его электроемкость не зависит. Это связано с тем, что избыточные заряды распределены только на внешней поверхности проводника. Следует заметить, что Стакже не зависит ни от заряда проводника, ни от его потенциала. Это совершенно не противоречит соотношению (18.7), которое лишь показывает, что потенциал уединенного проводника прямо пропорционален его заряду и обратно пропорционален емкости.