Розв’язання систем нелінійних рівнянь. Систему n нелінійних (алґебраїчних чи трансцендентних) рівнянь з n невідомими в загальному випадку може бути записано так:

Систему n нелінійних (алґебраїчних чи трансцендентних) рівнянь з n невідомими в загальному випадку може бути записано так:

.

Такі системи розв’язують практично тільки ітераційними методами, найбільше поширення серед яких отримали методи Ньютона і Зейделя.

Метод Ньютона ґрунтується на введенні матриці Якобі - матриця перших частинних похідних функцій за змінними причому функції є неперервно диференційованими. Якщо матриця не є виродженою, то система має єдине розв’язання. Вибирають вектор початкових наближень і розв’язують лінійну систему: , де – вектор, що є розв’язанням системи. Наступне наближення обчислюють за формулою: . Ітераційний процес припиняється, якщо виконується умова для кожного .

За початкове наближення може бути взято будь-яке значення шуканого кореня. Однак метод Ньютона ефективний у достатньо малому окілу кореня.

У методі Зейделя початкову систему нелінійних рівнянь замінюють еквівалентною . Задають початкові наближення і здійснюють ітераційний процес Зейделя, аналогічний однойменному процесу розв’язання СЛАР:

,

тобто вже обчислені наближення невідомих використовують під час обчислення . Як критерій припинення ітераційного процесу може бути використано умову: ,

де e – задана точність обчислень. Обчислення за методом Зейделя достатньо прості. Однак отримання системи , еквівалентній початковій з одночасним забезпеченням збіжності, є складною задачею. Ітераційний процес збігається за умови:

.