Короткі теоретичні відомості. 1. Модель задачі оптимального використання ресурсів.

1. Модель задачі оптимального використання ресурсів.

Для виготовлення декількох (n) видів продукції Р₁, Р₂, ..., Р_n використовують m видів ресурсів S₁, S₂, ..., S_m. Це можуть бути різні матеріали, електроенергія, напівфабрикати і тому подібне. Об'єм кожного виду ресурсів обмежений і відомий (b₁, b₂,..., b_m). Відомо також a_ij (i = 1,2,..., m; j=1,2..., n) – кількість кожного i-го виду ресурсу, що витрачається на виробництво одиниці j-го виду продукції. Відомий прибуток, що отримується від реалізації одиниці кожного виду продукції (c₁, c₂, ..., c_n).

Умови задачі можна представити у вигляді таблиці:

Нехай х_j (j = 1,2,..., n) – кількість кожного виду продукції, яке необхідно виробити.

Для першого ресурсу має місце нерівність-обмеження

a₁₁x₁+ а₁₂х₂+... + а_1nх_n ≤ b₁.

Аналогічні нерівності будуть і для останніх видів ресурсів. Слід ураховувати також, що всі значення х_j ≥ 0, j = 1,2,..., n.

Загальний прибуток, що отримується від реалізації всієї продукції, являє собою цільову функцію моделі

L(X)=c₁x₁+c₂x₂+…+c_nx_n.

Необхідно знайти значення змінних, при яких ця функція набуває максимального значення. Таким чином, математична модель задачі оптимального використання ресурсів запишеться у вигляді:

(система обмежень);

(цільова функція).

У компактнішій формі цільову функцію і систему обмежень можна записати, використовуючи знак підсумовування:

2. Моделі задачі оптимального розкрою матеріалів.

Є одиниці матеріалу заданих розмірів (заготовки). Ці заготовки потрібно розрізати на деталі різної довжини, причому задані розміри деталей кожного виду і необхідна кількість деталей. Відомі також варіанти розкрою заготовок, причому за кожним відомі отримувана кількість деталей кожного виду і довжина відходів.

Потрібно визначити, скільки заготовок потрібно розкроїти за кожним із варіантів, щоб довжина сумарних відходів була мінімальна.

Уведемо умовні позначення:

х_j – кількість заготовок, які потрібно розрізати способом j;

j – номер способу розкрою заготовки;

n – кількість варіантів розкрою;

a_ij – кількість деталей i-го виду, після розкрою однієї заготовки способом j;

i – номер виду деталі;

m – кількість видів деталей;

b_i – кількість деталей i-го виду;

L – цільова функція; для якої потрібно знайти мінімальне значення;

c_j – довжина відходів після розкрою однієї заготовки способом j.

Модель завдання оптимального розкрою матеріалів складається з обмежень і цільової функції, що виражає сумарну довжину відходів.

3. Моделі задачі оптимального складу сумішей.

Завдання оптимізації складу суміші виникають у металургії, хімії, сільському господарстві, харчовій промисловості. Моделі оптимального вибору складу суміші дозволяють знайти такий набір компонентів суміші, при якому задана якість продукції виходить з мінімальними витратами. Такі завдання часто називають завданнями про дієту (про складання раціону).

Є набір вихідних компонентів, що містять певні складові елементи. Для кожного компонента відомі процентний склад кожної складової і вартість одиниці компонента. З цих компонентів виготовляється суміш, яка повинна містити певний рівень складових елементів.

Математична модель оптимального вибору складу суміші: