Распределения случайных величин

Одним из основных этапов любой вариации метода Монте-Карло является генерирование случайных величин, распределённых по необходи­мому закону. При вычислении площади фигуры в п. 1.1.1 этими случайными величинами были координаты точек, «разбрасываемых» по площади квадра­та. Каждой точке соответствовали две координаты (x, y), каждая из которых должна была быть случайной величиной, равномерно распределённой на интервале (0; L).

Пусть некоторая случайная величина x определена на интервале (a; b). Плотностью распределения x называют функцию w(x), такую, что

-

вероятность того, что x окажется меньше, чем x. Сам интеграл W(x) называется интегральной (кумулятивной) функцией распределения величины x, значения W(x) всегда принадлежат интервалу (0; 1). Поскольку = 1, для любой плотности распределения выполняется условие нормировки

.

Несколько нестрого, равномерно распределёнными можно назвать те случайные величины, все допустимые значения которых равновероятны. Соответственно, равномерно распределённые величины характеризуются плотностью распределения, не зависящей от x:

.

Такое распределение имеет прямоугольную форму, как это показано для интер­вала (0; 1) на рис. 1.2.

Рис. 1.2. Плотность вероятности для равномерного распределения на интервале (0; 1).

Кроме равномерно распределённых, широко используются и часто рассматриваются нормально распределённые (распределённые по Гауссу) случайные величины. Нормальной (гауссовой) случайной величиной назы­вается случайная величина x, определенная на всей числовой оси с плотностью распределения

,

где – математическое ожидание (среднее значение) x, а s - её дисперсия, характеризующая разброс значений относительно среднего.

Среднее значение произвольной непрерывной случайной величины x с плотностью распределения w(x) может быть вычислено по формуле

,

а дисперсия определяется выражением

.