Построение высоконадежных систем

Для решения задач, связанных с расчетами параметров надежности, необходимо использовать основные положения математической теории надежности [7,8]. Ее основной задачей является создание математических моделей, адекватных вероятностным процессам функционирования исследуемых реальных технических систем. Возможные состояния системы показаны на рисунке 7. Переход из одного состояния в другое определяется функцией x(t).

Рисунок 7 – Состояние системы

Проанализируем некоторые термины и определения. Пусть x – определенное состояние системы, X – множество возможных состояний (фазовое пространство), А – подмножество, попадание в которое считается недопустимым. Опыт дает достаточные основания считать функцию x(t) случайным процессом.

В теории надежности рассматриваются понятия безотказности, долговечности, ремонтопригодности. Безотказность – способность изделия сохранять работоспособность в течение определенного промежутка времени при заданных условиях эксплуатации. Безотказность измеряется вероятностью того, что траектория x(t) за этот промежуток времени не попадет в область А. Долговечность – способность изделия к длительной эксплуатации при условии правильного технического обслуживания, включающего текущие и капитальные ремонты. Ремонтопригодность – приспособленность к предупреждению, исправлению и обнаружению неисправностей.

В теории надежности используют три главных количественных критерия: вероятность безотказной работы, интенсивность отказов, среднее время между отказами. Для описания вероятностных процессов функционирования систем применяют различные функции распределения: экспоненциальные, нормальные, Вейбулла и т.д. Тип распределения определяет соответствующую модель интенсивности отказов.

Вероятность отказа как функция времени определяется следующим образом

, (24)

где - случайная величина, обозначающая наработку до отказа;

F(t) – функция распределения наработки до отказа

(она показывает вероятность того, что система

выйдет из строя к моменту времени t).

Вероятность безотказной работы определяется следующим образом

. (25)

Функцию распределения F(t) можно выразить через плотность распределения f(t) наработки до отказа. Для экспоненциального распределения получим следующие формулы

,

. (26)

Для распределения Вейбулла

,

. (27)

В формулах (26) и (27) величины и являются постоянными. На рисунке 8 представлены плотности наработки до отказа для экспоненциального распределения (рисунок 8,а) и распределения Вейбулла (рисунок 8,б).

Рисунок 8 – Плотности наработки до отказа для экспоненциального распределения (а) и распределения Вейбулла (б)

Интенсивность отказов h(t) характеризуется числом появления отказов в некотором промежутке времени [t₁, t₂]. Вероятность отказа в промежутке времени [t₁, t₂] определяется из выражения

. (28)

Интенсивность отказов имеет вид

(29)

Переходя к пределу, получим

. (30)

Интенсивность отказов является функцией времени. Мгновенное значение интенсивности отказов показывает изменение интенсивности отказов на протяжении срока службы некоторой совокупности изделий. Для экспоненциального распределения выражение для определения интенсивности отказов имеет вид

. (31)

Для распределения Вейбулла можно вывести следующее выражение для определения h(t)

, (32)

.

Величина также является постоянной. На рисунке 9 показано h(t) при различных . При имеем экспоненциальное распределение, для которого интенсивность отказов является величиной постоянной. В реальных же системах в различные промежутки времени h(t) изменяется по закону, приведенному на рисунке 10. На рисунке 10 t₁ – время заводских испытаний, t₂ – время нормальной эксплуатации, t₃ – время естественного старения.

Модель экспоненциального распределения можно применять только для периода t₂. Для экспоненциального распределения величина в формуле (31) имеет смысл среднего времени между отказами. Среднее время между отказами есть среднее арифметическое время нормальной работы при заданных условиях. В общем виде среднее время безотказной работы определяют по выражению

. (33)

Приведенную последовательность вычислений критериев надежности можно использовать и для других типов распределений. Поясним это на простейшем примере [8]. Элемент имеет нормальное распределение наработки до отказа с параметрами циклов (математическое ожидание) и циклов (среднее квадратическое отклонение). Найти надежность элемента и интенсивность отказов при наработке, равной 19000 циклов. При анализе распределения следует использовать табулированную функцию Лапласа Ф(z)

. (34)

Вычисляем критерии надежности

,

R(19000)=P(z>-0,5)=Ф(0,5)=0,69146,

, (35)

,

отказ/цикл.

Разработаны [7,8] методы расчета параметров надежности для различных выборок по эмпирическим данным. Ниже приведен пример для малой выборки, в таблице 29 – данные о наработке до отказа восьми механизмов.

Таблица 29 – Данные об отказах восьми механизмов

Для определения функции распределения наработки до отказа в i-й по порядку момент появления отказа t_i используется следующая зависимость

, (36)

где n – объем выборки.

Оценка вероятности безопасной работы находится в виде

. (37)

С помощью выражений (36) и (37) определяется интенсивность отказов

. (38)

С учетом (37) имеем

. (39)

Значение ординат плотности распределения в момент t_i могут быть вычислены с учетом выражения

, (40)

где N – объем совокупности;

- число изделий, безотказно работающих в

момент времени t.

Учитывая выражение (40), имеем

. (41)

После упрощений

. (42)

Результаты вычислений приведены в таблице 30.

Таблица 30 – Вычисление показателей надежности

Четвертый и пятый интервалы объединены в один продолжительностью: 20+5=25 тыс. циклов (для сглаживания “выпада” по h(t) ).

Оценки вероятности безотказной работы и интенсивности отказов приведены на рисунке 11 и 12. Характер изменения интенсивности отказов h(t) в первом приближении указывает на возможность использования распределения Вейбулла.

Расчеты надежности проводят на всех трех основных стадиях: предварительного проектирования (анализируются возможные варианты построения системы), технического проектирования (проверка правильности выбранных решений, нахождения слабых мест, разработка рекомендаций по повышению надежности и эффективности функционирования), испытания, контроля, обслуживания. Основные пути повышения надежности: повышение надежности комплектующих элементов; введение различного рода избыточности (дополнительных резервных элементов, облегченных режимов работы и т.д.); коренное изменение структуры и принципов функционирования отдельных частей системы и системы в целом.

Важнейшими задачами в теории систем является симметризация структуры, построение грубых моделей для оценки сверху и снизу, оптимизация структур и т.д. Ниже рассмотрены некоторые вопросы построения и анализа функционирования систем.

Различают системы с последовательным и параллельным соединением элементов (рисунок 13). Вероятности безотказной работы систем с последовательным и параллельным соединением элементов определяются по следующим выражениям:

(43)

где R_i – вероятность безотказной работы i-й

подсистемы (элемента).

Рисунок 13 – Системы с последовательным (а) и параллельным (б) соединением элементов

Для повышения надежности применяют системы с общим и раздельным (поэлементным) резервированием (рисунок 14, а и б).

Рисунок 14 – Системы с общим (а) и поэлементным (б) резервированием

Вероятности безотказной работы для общего и раздельного резервирования определяются по следующим зависимостям

(44)

Во всех случаях раздельное резервирование обеспечивает более высокую надежность.

Рассмотрение сложных систем проведем при построении грубой модели для оценки сверху и снизу (на примере метода минимальных путей и минимальных сечений). Для анализа систем широко используют методы абстрактной алгебры [9]. Основные этапы решения разработаны И.А.Ушаковым. Рассмотрим сеть, обеспечивающую обмен информацией между рядом пунктов (рисунок 15).

Рисунок 15 – Сложная сеть обмена информации

Будем считать, что возможны любые транзиты информации. Анализ такой “идеализации” показывает, что “длинные” пути слабо влияют на основные показатели надежности. Простой метод перебора при анализе сложных систем приводит к необходимости перебора миллионов состояний.

Оценивается важнейшая характеристика – вероятность связи двух фиксированных пунктов. Введем в рассмотрение структурную функцию

(45)

где X=(x₁,x₂,…,x_n) – вектор, компонентами которого

являются индикаторы работоспособности

отдельных каналов связи.

(46)

Любая структурная функция для сети выражается эквивалентным образом через так называемые минимальные пути и минимальные сечения. Путем в сети называется последовательность каналов связи, которые позволяют передать некоторую информацию из начального пути в конечный, а сечением – совокупность каналов связи, удаление которых из сети приводит к нарушению передачи информации.

Минимальным путем будет называться такой, исключение из которого любого канала связи приводит к отказу сети. С каждым минимальным путем А сети свяжем логическую функцию

(47)

Данная функция принимает значение 1, если все элементы (каналы связи) минимального пути нормально функционируют, то есть для всех одновременно выполняется x_i=1.

Минимальным сечением назовем такое, в котором восстановление работоспособности хотя бы одного любого элемента приводит к восстановлению работоспособности всей сети. Каждому минимальному сечению В_к также поставим в соответствие логическую функцию

(48)

Данная функция принимает значение 0, если все элементы, принадлежащие минимальному сечению, не исправны, и 1 в противном случае, то есть если хотя бы один из этих элементов функционирует нормально.

Сеть может иметь несколько минимальных путей. Для сети (рисунок 15) минимальными путями будут следующие подмножества элементов: (1,4), (1,3,5), (4,3,2). Последовательная система имеет единственный минимальный путь, параллельная система имеет n минимальных путей, каждый из которых состоит всего из одного элемента.

Структурная функция произвольной сети может быть выражена либо через структурные функции всех r своих минимальных путей, либо через структурные функции всех S своих минимальных сечений

(49)

Первое из выражений (49) означает, что в сети для связи входа с выходом должен существовать хотя бы один из путей, а второе выражение означает, что для связи входа с выходом в сети каждое из минимальных сечений должно содержать хотя бы один работоспособный элемент, то есть в сети не должно существовать ни одного размыкающего ее сечения. Иными словами, любую структуру можно представить в виде параллельного соединения минимальных путей либо в виде последовательного соединения минимальных сечений. Для рассматриваемой схемы

(50)

Представление произвольной структуры в виде параллельного или последовательного соединения некоторых цепочек является в большей степени условным. В произвольной структуре одни и те же элементы могут входить в различные минимальные пути и сечения. Некоторые из параллельно соединенных минимальных путей (или некоторые последовательно соединенные сечения) оказываются зависимыми, что не позволяет использовать хорошо разработанный математический аппарат для оценки надежности таких соединений, построенный в предположении независимости отдельных элементов системы. Введя ряд допущений, можно получить верхнюю и нижнюю оценку для вероятности безотказной работы системы с произвольной структурой

. (51)

Таким образом, для приближенной оценки надежности системы со сложной структурой достаточно выявить минимальные пути и минимальные сечения. Практически оказывается необходимым находить из минимальных путей лишь самые “короткие”, а из минимальных сечений лишь самые “тонкие”, так как именно они оказывают наиболее существенное влияние на окончательный результат.

Итак, на ранней стадии проектирования сложной системы можно с успехом применить метод построения граничных моделей, оценки для которых являются гарантийными относительно трудно исследуемой реальной системы.