Моделирование и анализ систем

Теоретической основой изучения и моделирования систем и их структур являются методы системотехники – теоретико-множественные методы, графы, линейная алгебра, комбинаторные методы, методы оптимизации и т.д. Элементы теории множеств и теории графов применительно к литейным системам изложены в работах [4,5]. Литейные системы рассмотрены как сложные системы. Структурой системы называется множество всевозможных отношений, характеризующих связи между подсистемами и элементами внутри системы.

Теорию множеств используют для выражения единой формализованной концепции теории сложных систем. Графы используют как способ описания структуры сложной системы. В теории множеств и графов рассмотрены формы представления и записи, классификации и свойства множеств и графов, теоретико-множественные операции и т.д. Рассмотрим лишь некоторые элементы теории, необходимые для решения ряда задач по моделированию литейных систем.

Наиболее простым способом построения теоретико-множественных объектов является перечисление. Символическая запись

(11)

означает, что множество А состоит из n элементов а_i, где i=1,2,…n. Запись утверждает, что элемент а₁ принадлежит множеству А. Если элемент d не принадлежит множеству А, то записывают .

Множество (11) является конечным, так как оно состоит из конечного числа и элементов. Вводятся также понятия пустых и бесконечных множеств.

Кроме метода перечисления, используют также метод описания характерных свойств элементов множеств. Множество (11) можно записать в виде

│ , (12)

где I – множество индексов i.

Пересечение и объединение множеств M и N записываются соответственно символами M∩N; M∩N. Операции пересечения и объединения можно выполнять с любым числом множеств. Операции пересечения и объединения множеств широко используются при описании синтеза многокомпонентных систем, например сплавов. Операцию разбиения множеств можно использовать, например, для классификации различных процессов. Реализации этих операций описаны в работе [4].

Разбиение представляется в виде

, (13)

где I – множество индексов i;

M_i – подмножества, полученные разбиением

множества M (классы разбиения).

Необходимо выполнять условия: (каждый элемент множества M_i является одновременно элементом множества М); М≠Ф (непустое множество) при всех , М_i∩М_j=Ф (непересекающиеся множества) при i≠j и M_i=M. Примером разбиения множеств может служить разбиение процессов уплотнения формовочных смесей на статические, динамические и комбинированные.

Важнейшее значение в теории множеств имеют понятия отношения и отображения, или преобразования. Понятие отношения на множествах определяют исходя из представления о множествах упорядоченных пар, троек и большого числа элементов.

Бинарное отношение – отношение между двумя объектами. Бинарным отношением R между множествами X и Y называется любое подмножество множества упорядоченных пар (x,y) элементов, образованных декартовым произведением X и Y. При этом X и Y являются множествами точек на отрезках осей декартовой системы координат.

Бинарные отношения символически представляют в виде

или xRy, , . (14)

Если множества X и Y пронумерованы, то есть и , то таблица из нулей и единиц, задающая любое отношение R, представляет собой - матрицу , в которой a_ij=1, если x_iRy_j и a_ij=0 в противном случае. Матрицу А называют матрицей отношения.

Понятия отношения или преобразования из множества X в множество Y связывают с понятием функции y=f(x). Если X и Y – два произвольных множества, то говорят, что на X определена функция f , принимающая значение из Y, если каждому элементу поставлен в соответствие один и только один элемент из Y. Для множеств произвольной формы вместо термина “функция” пользуются термином “отображение”. Символически представление функции f как отображения или преобразования из множества X в множество Y записывают в виде

. (15)

Образ отображения есть множество f(X) всех значений f(x) которое оно принимает при всевозможных ( ). Образ отображения обозначают

I_mf=f(X). (16)

Отображение определяет бинарное отношение R_f между X и Y: xR_fy означает, что y=f(x).

Теория графов служит математической моделью для любой системы, содержащей бинарные отношения между ее элементами.

Граф G состоит из конечного и непустого множества , содержащего р вершин ( ) и заданного множества , содержащего m ребер ( ) в виде неупорядоченных пар (v_i,v_j) различных вершин. Если ребро содержит вершины v_i и v_j, то эти вершины называются смежными; вершину v_i и ребро так же, как и вершину v_j и ребро , называют инцидентными. Если два ребра и инцидентны одной вершине, их называют смежными. Степень вершины обозначается d, она равна числу ребер, инцидентных вершине. Правило, ставящее в соответствие каждому ребру неупорядоченную пару вершин (v_i,v_j)=(v_j,v_i), определяется отображением . Таким образом, графом называется тройка

. (17)

Выражение (17) определяет неориентированный граф, его графическое изображение представляется диаграммой, в которой вершины соединены отрезками прямых или кривых. При моделировании литейных систем чаще всего используют ориентированные графы (орграфы), представляемые диаграммами, в которых узлы (вершины) соединяют отрезками прямых или кривых со стрелками, указывающими порядок концов дуг (ориентированных ребер). Представление орграфа также осуществляется в виде тройки, построенной по принципу, аналогичному (17).

Задание графа может быть осуществлено рядом отношений, например любой орграф можно задать матрицей инциденций для дуг

, (18)

где b_is=+1, если дуга a_s исходит из n_i ;

b_is= -1, если дуга a_к заходит в n_i;

b_is=0 в противном случае. Для графа, представленного на рисунке 3, матрица инциденций записывается в виде

С графами можно выполнять теоретико-множественные операции – соединение графов, удаление вершины, удаление ребра, стягивание и т.д. На основе этих операций можно проводить теоретико-графовый анализ маршрутов технологии. Поясним это на примере представления процессов формовки [4].

Рисунок 3 – Ориентированный граф

На рисунке 4 представлены орграфы технологических маршрутов изготовления форм. Пусть n₁ – подготовка оборудования, оснастки и материалов; n₂– заполнение опоки смесью; n₃ – уплотнение смеси; n₄ – упрочнение тепловое (сушка) или химическое; n₅ – извлечение модели; n₆ – установка стержней и сборка полуформ; n₇ – готовая форма (закрепление полуформ или укладывание груза). Граф “а” можно рассматривать как технологический маршрут изготовления песчаной формы, например из жидкостекольной смеси с упрочнением формы продувной углекислым газом. При переходе к графу осуществлена операция стягивания дуги а₃, то есть отожествлены операции n₃ и n₄. Граф можно рассматривать как технологический маршрут изготовления сырых форм на автоматах прессования, вибропрессования, встряхивания с одновременным прессованием и т.д. Стягивание дуги означает сокращение маршрута, например во времени. При переходе от графа а к графу в осуществлена операция стягивания дуги а₂, отожествлены операции n₂ и n₃. Граф в можно рассматривать как технологический маршрут изготовления сырых форм на пескострельно-прессовых автоматах, а также на пескострельных автоматах при использовании термического или химического отверждения песчано-смоляных смесей до извлечения моделей. При стягивании дуг а₂ и а₃ получим граф г, который можно рассматривать как реальный маршрут изготовления сырых форм на пескометах. Если к графу г добавить дугу а₇, соединив узлы n₂=n₃=n₄ и удалив узлы n₅ и n₆, то получим орграф д, который можно рассматривать как изготовление форм из сухого песка с газифицируемыми моделями.

Рисунок 4 – Ориентированные графы технологических маршрутов изготовления форм

При решении транспортных задач и анализе грузопотоков литейная система представляется [5] комплексом технологического оборудования, связанного между собой транспортной системой. Транспортной сетью (рисунок 5) называется сеть, к каждой дуге U которой отнесено некоторое целое число с (U)≥0, называемое пропускной способностью дуги, у которой только один вход x₀ и только один выход x_n. С транспортной сетью тесно связано понятие потока, под которым понимается некоторая функция . Поток по дуге U не превышает пропускной способности этой дуги. Для каждой вершины x_i, отличной от x₀ и x_n, сумма входящих потоков равна сумме исходящих, то есть

(19)

,

где - множество дуг, входящих в x_i;

- множество дуг, исходящих из x_i.

Рисунок 5 – Транспортная сеть

Из (19) следует

. (20)

Число Ф называется величиной потока, его можно рассматривать как количество вещества, притекающего в x_n.

Множество вершин X транспортной сети можно разбить на два подмножества А и В, соблюдая следующие условия

.

Множество дуг , входящих в В (исходящих из А), называется разрезом сети. Пропускной способностью разреза называется число

. (21)

В любой транспортной сети можно выделить несколько разрезов. Для рассматриваемой сети выделим два разреза

(22)

.

Из всех разрезов транспортной сети можно выделить разрез с наименьшей пропускной способностью . Для заданной транспортной сети максимальная величина потока равна минимальной пропускной способности разреза (теорема Форда-Фалкерсона), то есть

. (23)

Выражение (23) является основополагающим для анализа потоков материалов. Общие принципы оптимизации потоков изложены в фундаментальных работах по прикладной комбинаторике [6 и др.].

Построение моделей реальных литейных систем осуществляется в два этапа. На первом этапе строится операционно-технологический граф (ОТ-граф), описывающий технологическую часть системы. Вершинами ОТ-графа являются технологические операции, а дугами транспортные. На втором этапе производится количественная оценка ОТ-графа. Расчеты потоков материалов и количества оборудования осуществляются с помощью матрицы потребности и ведомости оборудования. Отсутствие или наличие узких мест определяется по матрице соответствия. Методика проведения расчетов для различных литейных систем изложена в работе [5]. В результате расчетов строится агрегатно-технологический граф – АТ-граф. На рисунке 6 представлен АТ-граф системы смесеприготовления. Шифры и индексы операций и материалов приведены в таблице 28. Операции 06, 11-12, 14-18 на графе не показаны.

Рисунок 6 – Агрегатно – технологический граф системы смесеприготовления

Таблица 28 – Система подготовки исходных материалов и

смесеприготовления

С помощью графов строится полная модель системы, позволяющая выполнить количественный анализ отдельных элементов подсистем и системы в целом по нескольким направлениям в зависимости от целей исследования, а также регулирование или управление системой.