Принцип Байеса.

В 1968 во Франции вышла книга [Tim], написанная коллективом, посвященная проблемам связанным с понятием времени. В ней, в частности, Оливье Коста де Борегар утверждал, что "в нашей физической вселенной прослеживание прошедшего, вообще говоря, невозможно. Казалось бы, прошедшее событие, зарегистрированное в документах, относится к числу установленных фактов. Однако в действительности всякое восстановление прошедшего существенно основывается на физиологической памяти; если даже речь идет о фактах, тщательно зарегистрированных в архивах, то и здесь память необходима, т.к. именно она является ключом для интерпретации документов. Память и интуиция служат путеводной нитью при знакомстве со следами прошлого, без них восстановление прошлого окажется лишенным основы... При изучении доисторического человека мы не можем в точности восстановить его облик или выяснить способы применения им своих орудий, если не будем опираться на сходство между людьми, которых разделяют тысячелетия, и пользоваться аналогией между проблемами, возникающими между нашими далекими предками, и проблемами возникающими между нашими соотечественниками" [Бор].

Коста де Борегар обратил внимание на то, что использование знания настоящего при оценке исторического события может внести уточнения, но при условии достаточно точного априорного знания об этом событии, т.е. знания, полученного до того, как привлекаются современные сведения. Другими словами, неточность априорного знания может повлиять на окончательный вывод так, что с ним трудно будет согласиться. По сути дела, Коста де Борегар использовал исследования Пуанкаре по статистической механике.

Проблема заключается в поиске ответа на следующий вопрос. Можно ли на основе некоторого количества собранных документов, фактов о прошлом, т.е. некоторого статистического материала о прошлом, делать обоснованные заключения по влиянию одного из фактором, представленном в этом материале, на интересующее нас историческое событие в том случае, когда в нашем распоряжении оказались новые документы, касающиеся данного события. Другими словами, в какой мере новые знания, новые документы позволяют "пролить свет" на причину того или иного исторического события. Казалось бы новые знания могут, как говорят, "снять вопрос и закрыть старую проблему".

Это интересовало Пуанкаре, который обосновал статистическую предсказуемость будущего, и естественно пытался понять восстановимо ли статистически прошлое [Бор]. Выяснилось что нет, не восстанавливается.

Следуя идее [Бор,c.128-130, 12-13] рассмотрим пример, поясняющий такой вывод. Пусть П - число всех известных по документам сражений французов, закончившихся поражением, в которых перечислялись различные причины поражения. Предположим, что в K_b, сражениях в качестве (основной) причины указывалась болезнь командующего. Значит доля сражений с больным командующим или (частотная, статистическая) вероятность болезни командующего, как причины проражения, равна P(B)=K_b/П, а вероятность того, что причинa иная - P(Z) = (П-K_{b})/П = 1- P(B).

Представим, что мы живем в 1815 году и открыв газету узнали, что в битве под Ватерлоо Наполеон потерпел поражение, однако причина поражения в газете не указывалась. Поражение под Ватерлоо - это событие П_V.

Можно ли, узнав о поражении Наполеона (и только это), выяснить не явилась ли его болезнь причиной поражения на основе наших исторических знаний, т.е. статистических данных о всех поражениях французов до 1815 года?

Будем считать, что поражение французов почти неизбежно, если Наполеон был болен, как и всякой армии, теряющей вдруг своего командующего. Это означает, что условная вероятность P(П_V/B)=1.

Обозначим через b= P(B) априорную вероятность болезни Наполеон во время сражения. Это вероятность, вычисленная на основе полных статистических данных, имевшихся в распоряжении историков. Тогда P(B/П_V) - апостериорная вероятность того, что Наполеон был болен при условии поражения армии французов под Ватерлоо. Вычисление вероятности P(B/П_V) - это попытка выяснить болел ли на самом-то деле Наполеон во время сражения или нет, и увидеть в этом причину разгрома, привлекая "новые знание" - газетное сообщение, что имело место событие П_V = французы потерпели поражение. Из формулы Байеса получаем:

P(B/П_V)=b/{b+s(1-b)} >= b

где s= P(П_V/Z) - вероятность того, что армия потерпела поражение по иным, кроме болезни командующего, причинам. Таким образом, знание "нового факта" = события П_V позволяет заключить, что вероятность болезни Наполеона a posteriori, т.е. с учетом новых данных (событие П_V), не меньше вероятности болезни Наполеона a priori, т.е. до того, как была открыта газета. Получается вроде бы, что привлечение новых данных уточняет априорную вероятность. Но нужно знать еще условную вероятность s. Попробуем привлечь для этого специалистов-историков по эпохе наполеоновских войн. Если они скажут что им, как специалистам, располагающим статистическим материалом, удалось выяснить, что Франция к 1815 году истощила все свои людские и материальные резервы и это основная причина поражение, а никакая там болезнь, иначе говоря, s приблизительно равно 1. Следовательно, P(B/П_V) приблизительно равно b, т.е. происходит подтверждение полученной ранее оценки вероятности болезни и новое знание мало что проясняет. Но если историки заявят, что по их данным состояние "тыла" Наполеона не играло роли, т.е. s приблизительно равно 0, то P(B/П_V) приблизительно равно 1. Иначе говоря, знание того факта, что сражение проиграно, прояснило загадку поражения: Наполеон был болен, и это главная причина поражения.

Но последний вывод сделан, как кажется другим специалистам на шатком предположении "s приблизительно равно 0". И это вызвано скудностью статистического материала, и надо надеяться, что потомки, получив новые известия из Франции смогут на основе дополнительных новых документов установить историческую правду. Но об этой надежде на потомков поговорим ниже.

Допустим, что P(B)= P(Z)=1/2, т.е. статистический материал скуден; документы так расплывчато описывают состояние здоровья командующих, что полная неопределенность с выводом о заболеваемости французских командующих в проигранных битвах - не то чтобы были больны, но и нельзя точно заявить о полном здравии, точнее, о других причинах, ведущих к поражению армии. Тогда

P(B/П_V)= 1/{1+s}

Значит, если специалисты говорят, что вероятность потерпеть поражение при условии Z небольшая, скажем s=1/8, то P(B/П_V)=8/9. Никаких сомнений, император был болен. Вывод сделан на очень сомнительном заявлении специалистов, и нужен поиск новых документов... Если же s приблизительно равно 1, то P(B/П_V) приблизительно равно 1/2. Опять никакой ясностью с болезнью Наполеона. Поэтому Коста де Борегар делает вывод: "восстановление прошлого может производится лишь в том случае, если известны априорные вероятности, то есть если уже предполагается какое-то знание о прошедшем, знание настоящего может его только уточнить" [Бор,c.130].

Априорные вероятности берутся из статистического материала. который для них всегда дает приближенное значение. Ситуация вполне характерная для любой науки. Именно поэтому идут заявления о необходимости поиска новых документов. Но после вновь найденного документа процесс необходимости уточнения априорной вероятности повторится; и так до бесконечности. Никогда не наступит полная ясность; История не желает совпадать с Летописью.