Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Задача Коши. Общие замечания. Постановка задачи




Читайте также:
  1. I. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
  2. I. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
  3. I. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
  4. I. Общие сведения
  5. I. Общие сведения
  6. II. ЗАДАЧИ НАУЧНОГО КРУЖКА
  7. IV. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О СПОРТИВНЫХ СОРЕВНОВАНИЯХ
  8. Oslash; 1.1. Общие сведения об операционной системе WINDOWS
  9. VI. Выводы. Предложения. Задачи.
  10. VI. ДАЛЬНЕЙШИЕ ЗАДАЧИ И НАПРАВЛЕНИЯ РАБОТЫ

Для дифференциального уравнения n-го порядка

уn = f(x, у, у',…, у(n-1)) (10.1)

 

задача Коши заключается в отыскании решения у = у(х) уравнения (10.1), удовлетворяющего начальным условиям

 

у(х0) = у0, у'(х0)= у'0, …, у(n-1)(х0)= у0(n-1),(10.2)

 

где х00, у'0, у0(n-1) – заданные числа. Если функция f (x,y,y',..., y(n-1)) непрерывна, а ее частные производные ограничены в области, содержащей точку (х00, у'0, у0(n-1)), то существует единственное решение задачи Коши (10.1), (10.2).

Задача Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений

(10.3)

заключается в отыскании решения y1= y1(x),…уn = уn(x)системы (10.3), удовлетворяющего начальным условиям

y1(x0)= у10, у2(x0)= у20, …, уn(x0)= уn0 , (10.4)

где х0, у10, у20, … уn0– заданные числа. Если функции f(x, у1,…, уn), непрерывны и имеют ограниченные частные производные в некоторой области, содержащей точку (х0, у10, у20, … уn0), то существует единственное решение задачи Коши (10.3), (10.4).

Известно, что систему дифференциальных уравнений, содержащую производные высших порядков и разрешенную относительно старших производных искомых функций, можно привести к системе вида (10.3) путем введения новых неизвестных функций. В частности, дифференциальное уравнение (10.1) порядка n приводится к системе вида (10.3) с помощью замены

у1 = у', у2 = у" , …, у n-1= y (n-1),

что дает следующую систему

(10.5)

то есть систему n дифференциальных уравнений первого порядка, правая часть которых не зависит от производных искомых функций. Поэтому численные методы решения дифференциальных уравнений традиционно изучают для уравнений первого порядка

а затем, как правило, без труда распространяют на нормальные системы дифференциальных уравнений вида (10.3). Так мы и поступим.

Итак, дано дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной

y' = f(x,у),(10.6)

и начальное условие

у (х0) = у0 (10.7)

 

Требуется численно решить задачу Коши (10.6), (10.7) на отрезке [x0, b]. Это решение будет состоять в построении таблицы приближенных значений у1, у2,, уn искомого решения у = у(х)в точках х1, х2, …, хn = b, где yi ≈ y (xi),

. Для этого отрезок [x0, b] делят на n равных частей длины , так что xi = х0+ih, . Величина h называется шагом интегрирования.



 

 


Дата добавления: 2015-09-13; просмотров: 20; Нарушение авторских прав







lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2022 год. (0.012 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты