Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника


Первая интерполяционная формула Ньютона для равноотстоящих узлов интерполяции




 

Вычисление значений функции для значений аргумента, лежащих в начале таблицы, удобно проводить, пользуясь первой интерполяционной формулой Ньютона.

Пусть функция f(x) задана значениями ; ; …; в равноотстоящих узлах интерполяции , , …, и требуется построить интерполяционный многочлен степени n такой, что ; ; …; .

В силу единственности многочлена степени n, построенного по n + 1 значению функции f(x), многочлен Рn(x) является разновидностью записи интерполяционного многочлена и совпадает с Лагранжа.

Будем искать f(x) в виде

 

. (7.3)

 

В этом выражении неизвестны коэффициенты а0, а1, а2, …, аn .

Найдем а0, положив х = х0, тогда

 

.

 

Чтобы найти коэффициент а1, составим первую конечную разность для многочлена Рn(x) в точке х. Согласно определению конечной разности имеем

 

.

Проведя подстановку, получим

 

 

Вычислим первую конечную разность многочлена Рn(x) в точке х0. Здесь так же все члены, кроме первого, обратятся в ноль и, следовательно,

 

,

но

; ; .

Чтобы определить коэффициент а2, составим конечную разность второго порядка:

.

После преобразований получим

 

 

Полагаем х = х0: тогда все члены, кроме первого, опять обратятся в ноль и

 

, .

 

Вычисляя конечные разности более высоких порядков и полагая х = х0, получим общую формулу для получения коэффициентов

.

Подставив найденные значения коэффициентов аi в выражение (7.3), получим первую интерполяционную формулу Ньютона.

 

(7.4)

 

На практике часто используют формулу Ньютона в другом виде:

 

,

где , h – шаг интерполирования и q – число шагов.

Если n = 1, то получим формулу линейного интерполирования

 

.

При n = 2 получим формулу параболического или квадратичного интерполирования

.

Эти формулы удобно применять в начале таблицы, когда q мало по абсолютной величине.

 

 


Поделиться:

Дата добавления: 2015-09-13; просмотров: 72; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав





lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2024 год. (0.006 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты