Интерполяционный многочлен Лагранжа

На отрезке [a,b] в узлах интерполяции х₀, х_1,…, х_n задается функция f(x) своими n + 1 значениями у₀ = f(x₀), …, y_n=f(x_n) .

Требуется построить многочлен L(х), совпадающий в узлах интерполяции х₀, …, х_n со значениями заданной функции:

L(x₀) = y₀, …, L(x_n) = y_n , где h = x_i+1 – x_i ¹ const – шаг интерполяции.

Представим многочлен

,

где a_i (i = 0, 1 , 2, …, n) неизвестные постоянные коэффициенты, которые нам необходимо найти.

Пусть L_n(x) в узлах интерполяции х₀, х₁, …, х_n принимает значения L_n(x₀) = у_{n .}

Тогда в узле интерполяции х₀ имеем

,

,

…

.

Запишем это в виде системы n + 1 уравнений с n + 1 неизвестным

а₀ , а₁, а₂, …, а_{n .}

где x_i и y_i (i = 0, 1,…, n) – табличные значения аргумента и функции.

Находим значения неизвестных, как

; ; ; … ; ,

где – определитель системы.

Если ¹ 0, то система имеет единственное решение

.