Оценка погрешности интерполяционного многочлена Лагранжа

Интерполяционный многочлен Лагранжа L_n(x) совпадает с функцией f(x) в узлах интерполяции х₀, х₁, х₂, …, х_n. Чтобы оценить степень приближения интерполяционного многочлена в точках, отличных от узлов интерполяции, надо сделать дополнительные предположения о поведении функции f(x), заданной таблично.

Будем считать, что функция f(x) дифференцируема n + 1 раз на отрезке [a,b]. Погрешность . Введем вспомогательную функцию . Функция имеет n + 1 корень, т.е. , т.к. в узлах интерполяции и один из сомножителей .

Подберем k таким образом, чтобы , т.е.

,

тогда получим

.

Определим численное значение коэффициента k. Для этого продифференцируем n + 1 раз. Так как обращается в ноль на [a,b] в n + 2 точках: х₀, х₁, х₂,…, х_n, то на основании теоремы Ролля производная от обращается в ноль , по крайней мере n + 1 раз на интервале [a, b].

Применим снова теорему Ролля к функции . Вторая производная обращается в ноль не менее n раз на интервале (а, b). Продолжая этот процесс, придем к выводу, что производная (n + 1) порядка функции имеет хотя бы один корень, т.е. .

Тогда

,

но т.к.

.

Получим

,

.

Полагая, что M_n+1 = max | f ⁽ⁿ⁺¹⁾(x)| получаем, оценку погрешности х Î [a, b] для интерполяционного многочлена Лагранжа

.

ЛЕКЦИЯ 7. КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ

Табулирование функций в большинстве случаев производится для равноотстоящих значений аргумента, т.е. , где i = 0, 1, 2, …, n, а h – шаг интерполяции. Для вывода интерполяционных формул для равноотстоящих узлов интерполяции введем понятие «конечной разности».

Назовем конечной разностью первого порядка разность между значениями функции в соседних узлах интерполяции

,

,

… (7.1)

,

где h = const, или в общем виде

(7.2)

или

.

Из конечных разностей 1-го порядка можно образовать конечные разности 2-го порядка

; .

В общем виде конечная разность n-ого порядка записывается так:

.