Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника


Оценка погрешности интерполяционного многочлена Лагранжа




 

Интерполяционный многочлен Лагранжа Ln(x) совпадает с функцией f(x) в узлах интерполяции х0, х1, х2, …, хn. Чтобы оценить степень приближения интерполяционного многочлена в точках, отличных от узлов интерполяции, надо сделать дополнительные предположения о поведении функции f(x), заданной таблично.

Будем считать, что функция f(x) дифференцируема n + 1 раз на отрезке [a,b]. Погрешность . Введем вспомогательную функцию . Функция имеет n + 1 корень, т.е. , т.к. в узлах интерполяции и один из сомножителей .

Подберем k таким образом, чтобы , т.е.

,

тогда получим

.

Определим численное значение коэффициента k. Для этого продифференцируем n + 1 раз. Так как обращается в ноль на [a,b] в n + 2 точках: х0, х1, х2,…, хn, то на основании теоремы Ролля производная от обращается в ноль , по крайней мере n + 1 раз на интервале [a, b].

Применим снова теорему Ролля к функции . Вторая производная обращается в ноль не менее n раз на интервале (а, b). Продолжая этот процесс, придем к выводу, что производная (n + 1) порядка функции имеет хотя бы один корень, т.е. .

Тогда


 

,

но т.к.

 

.

 

Получим

,

 

.

 

Полагая, что Mn+1 = max | f (n+1)(x)| получаем, оценку погрешности х Î [a, b] для интерполяционного многочлена Лагранжа

 

.

ЛЕКЦИЯ 7. КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ

Табулирование функций в большинстве случаев производится для равноотстоящих значений аргумента, т.е. , где i = 0, 1, 2, …, n, а h – шаг интерполяции. Для вывода интерполяционных формул для равноотстоящих узлов интерполяции введем понятие «конечной разности».

Назовем конечной разностью первого порядка разность между значениями функции в соседних узлах интерполяции

,

,

… (7.1)

,

 

где h = const, или в общем виде

(7.2)

или

.

 

Из конечных разностей 1-го порядка можно образовать конечные разности 2-го порядка

; .

 

В общем виде конечная разность n-ого порядка записывается так:

 

.

 


Поделиться:

Дата добавления: 2015-09-13; просмотров: 106; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав





lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2024 год. (0.006 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты