Приближение линейными сплайнами

Пусть m = 1 .

Тогда общее число Q свободных параметров равно 2N .

Поставим вопрос о построении сплайна совпадающего с функцией f(x) в точках x₀, x₁,…, x_n .

Получим систему уравнений

Эта система распадается на системы уравнений относительно коэффициентов отдельных многочленов

,

отсюда находим

Многочлен P_n1(x) является многократно рассматривавшимся интерполяционным многочленом первой степени с узлами интерполяции x_n-1, x_n.

Широкое распространение сплайнов во многом вызвано тем, что они являются в определенном смысле наиболее гладкими функциями среди функций, принимающих заданные значения. Сплайны степени выше первой в случае гладкой f(x) хорошо приближают не только саму функцию, но и ее производные.

ЛЕКЦИЯ 9. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

Известно, что не для всякой функции ее первообразная выражается через элементарные функции. В этих случаях вычисление определенных интегралов по формуле Ньютона-Лейбница затруднительно и применяются различные методы приближенного вычисления определенных интегралов. Пользуясь геометрическим смыслом определенного интеграла, рассмотрим три приближенных формулы, с помощью которых численное интегрирование проводится с любой степенью точности.