Вторая интерполяционная формула Ньютона

Для интерполирования в конце таблицы обычно применяют вторую интерполяционную формулу Ньютона.

Пусть на [a,b] даны n + 1 различные значения аргумента х₀, х₁, …, х_{n ,}, которым соответствуют следующие значения

; ; …; ,

а шаг интерполяции постоянен и равен h, т.е. .

Построим интерполяционный многочлен вида

В этом многочлене неизвестны коэффициенты а₀, а₁, а₂, …, а_n . Их надо подобрать так, чтобы были возможны равенства:

; ; … ; .

Для этого необходимо и достаточно, чтобы

.

Коэффициент а₀ найдем, положив х = х_n в равенстве (7.4)

откуда

Отсюда, полагая х = х_n-1 имеем , следовательно

.

Из выражения для второй конечной разности имеем а₂

Полагая х = х_n-2, получим

,

откуда

, .

Подставляя найденные значения коэффициентов, получим :

Это и есть вторая интерполяционная формула Ньютона. Положим q = (x - x_n)/h, тогда

; ;

(7.5)

Первая интерполяционная формула Ньютона используется для интерполирования в начале отрезка [a,b], а вторая – на конечном участке таблицы.