Если корень нас не устраивает, то мы находим

;

;

. . .

.

Рассмотрим случай, когда первая и вторая производные имеют разные знаки. (рис.5.3):

, .

Рис. 5.3

,

,

. . .

.

Неподвижными концами отрезка является тот, для которого знак функции совпадает со знаком второй производной .

Г). Метод Ньютона.

Пусть корень уравнения f(x) = 0 отделен на отрезке [a, b], причем и непрерывны и сохраняют постоянные значения на всем отрезке [a, b].

Геометрический смысл метода Ньютона в том, что дуга кривой y = f(x) заменяется касательной к этой кривой.

Первый случай (рис.5.4):

f(a) < 0 , f(b) > 0 , > 0 , > 0(основная линия)

или

f(a) > 0 , f(b) < 0 , < 0 , < 0(пунктирная линия) .

Рис. 5.4

Проведем касательную к кривой y = f(x) в точке B₀

.

Полагая y = 0 , x = x_{1 ,} получим

_,

,

. . .

^.

Второй случай (рис. 5.5):

f(a) < 0 , f(b) > 0 , > 0 , < 0(основная линия)

или

f(a) > 0 , f(b) < 0 , < 0 , > 0(пунктирная линия),

.

Рис. 5.5

Полагая y = 0 , х = х₁, получим

_, , . . . , ^.

При выборе начального приближения корня необходимо руководствоваться правилом: за исходную точку следует выбирать тот конец [a, b], в котором знак функции совпадает со знаком , т.е.

, a = x_{0 .}

д). Модифицированный метод Ньютона.

Заключается в том, что вместо вычисления производной на каждом шаге итераций находится ее приближенное значение

, .

Следовательно, итерационная формула имеет вид

.

Значение не обязательно должно быть постоянно. Равенство позволяет уменьшить число исходных данных при вводе.