Метод простой итерации

Пусть дана система линейных уравнений:

. (3.3)

В матричном виде:

,

; ; . (3.4)

Предполагая, что диагональные элементы a_ii ¹ 0 ,(j= 1, 2, …, n), выразим х₁ через первое уравнение системы, х₂ – через второе, и т.д.

;

;

… (3.5)

.

Обозначим , , где i = 1, …, n; j = 1, … , n , тогда

(3.6)

Эта система называется системой, приведенной к нормальному виду.

Введя обозначения

, .

Запишем систему (3.3) в матричной форме

или

. (3.7)

Решим систему (3.7) методом последовательного приближения, за нулевое приближение возьмем столбец свободных членов:

- нулевое приближение;

- 1-е приближение ;

- 2-е приближение .

Любое приближение вычисляется по формуле X^(k+1) = b + aХ^(k). Если последовательность приближения X⁽⁰⁾, X⁽¹⁾, …, X^(k) имеет предел X = lim X^(k) при k ¥, то этот предел является решением системы (3.6) . Поскольку по свойству предела lim X^(k+1) = b +a lim X^(k) , k ¥, тогда X = a + bХ.