![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Спектральный анализ случайных процессов
Спектральный анализ детерминированных сигналов x(t) предпо-лагает использование прямого преобразования Фурье
Распространение этого подхода на случайные процессы наталкивается на ряд серьезных проблем: 1. или хотя бы интегрируемости в квадрате
т.е. для сигналов с ограниченной энергией. Однако реализации стационарных случайных процессов с вероятностью 1 имеют бесконечную энергию, так как по определению существуют на бесконечной оси времени и, следовательно, этим требованиям не отвечают. Эту трудность можно обойти, если рассматривать отношение спектральной функции
2. Спектральная функция
где Выход из этой ситуации состоит в отбрасывании фазового и усреднении только амплитудного спектра Для реализаций случайных процессов X(t) с ограниченной энергией Ех (нестационарных) по теореме Парсеваля имеем
где Усредняя по ансамблю реализаций, получим
Для стационарных случайных процессов на интервале Т рассмотрим функцию
называемую также энергетическим спектром процесса X(t). Энергетический спектр стационарного случайного процесса и его корреляционная функция связаны между собой интегральными преобразованиями Фурье, что было строго доказано А.Я. Хинчиным и Н. Винером (теорема Винера-Хинчина)
Рассмотрим нестрогое доказательство этой теоремы с прозрачным смыслом. Исходя из вышеприведенного определения энергетического спектра, имеем
(после замены переменных (после замены усреднения по ансамблю усреднением по времени)
что и требовалось доказать.
|