Через безынерционные цепи

Безынерционная цепь (безынерционный функциональный узел –БФУ) полностью описывается функциональной зависимостью y = f(x), связывающей мгновенные значения воздействия x(t) и реакции y(t) в совпадающие моменты времени. В результате имеем дело с функциональным преобразованием случайного процесса Y(t) = f [X(t)].

Для вычисления одномерной плотности вероятности реакции w(y) по известной плотности вероятности воздействия w(x) рассмотрим рис. 5.2, на котором изображены функциональная характеристика БФУ y = f (x), заданная плотность вероятности воздействия w(x) и искомая плотность вероятности реакции БФУ w(y). Учитывая, что при попадании случайной величины X в интервал (x, x+dx) случайная величина Y с вероятностью 1 попадает в соответствующий ему интервал (y, y+dy), можно написать следующее соотношение

,

из которого вытекает

, (5.1)

где f ^-1(y) – обратная функция (x = x(y) = f ^-1(y)).

Дифференциалы dx, dy и производная обратной функции в полученном выражении взяты по модулю в силу свойства положительности плотности вероятности.

Примеры:

1. Линейное безынерционное преобразованиеy = f (x) = ax + b.

Обратная функция ,

.

Таким образом, при линейном преобразовании случайной величины ее кривая плотности распределения смещается на величину b, а масштаб по координатным осям изменяется в |a| раз.

2. Кусочно-линейное преобразование y = f (x) (рис. 5.3).

Задачу решим графически, определяя вид кривой w_Y(y) на отдельных интервалах оси у.

y y y2 y1 x1 x2 x 0 w(y) w(x)     x1 x2 x Рис. 5.3. Кусочно-линейное преобразование случайной величины.

а) при у < 0 и у > y₂ w_Y (y) = 0, т. к. значения реакции у не могут выйти за пределы уровней отсечки (у = 0) и насыщения (у = y₂,);

б) при 0 < у < y₁ w_Y (y) = 0, т. к. в этот интервал (протяженностью y₁) значения реакции попадают при единственном значении воздействия x = x₁, вероятность которого w_X(x₁)dx ® 0;

в) при y₁ ≤ у < y₂ , где b = y₁, (см. пример 1);

г) при у = 0 , т. к. у = 0 для всех х < x₁;

д) при у = у₂ , т. к. у = у₂ для всех х > x₂.

3. Преобразование при неоднозначной обратной функции

.

На практике встречаются ситуации, когда обратная функциональная характеристика является многозначной (рис. 5. 4). Рассуждая аналогично тому, как это делали при выводе выражения (5.1), легко убедиться в том, что в этом случае для интервала

.

Если при анализе прохождения СП через БФУ достаточно знать только основные характеристики распределения реакции, то их можно найти, не определяя w_Y(y). В частности:

математическое ожидание

,

дисперсия

функция корреляции

.