Розв’язання систем нелінійних рівнянь

Систему n нелінійних (алґебраїчних чи трансцендентних) рівнянь з n невідомими в загальному випадку може бути записано так:

.

Такі системи розв’язують практично тільки ітераційними методами, найбільше поширення серед яких отримали методи Ньютона і Зейделя.

Нижче наведено основні етапи застосування чисельних методів для розв’язання нелінійних рівнянь та їх систем (табл. 2).

Таблиця 2 - Методи розв’язання нелінійних рівнянь та їх систем

Методи розв’язання нелінійних рівнянь

Метод поділу навпіл У методі поділу навпілвідрізок , на якому знаходиться корінь, ділять навпіл і вибирають той напівінтервал, на кінцях якого знаки функції різні Потім процес поділу повторюється доти, доки довжина інтервалу, що містить корінь, не стане меншою за точність . Рисунок 3.1 – Геометрична інтерпретація методу поділу навпіл

Метод простої ітерації (послідовного наближення) Рівняння виду замінюють рівносильним рівнянням , де , – константа ( ). Якщо, скрізь на відрізку , на якому вхідне рівняння має єдиний корінь, то можна побудувати таку послідовність , , …, . Межею цієї послідовності є єдиний корінь рівняння на відрізку . Похибку наближеного значення кореня , знайденого методом ітерацій, оцінюють нерівністю: .

Метод хорд За методом хорд послідовність наближених значень знаходять за формулами: , де належить інтервалу ; і т.д. Послідовність чисел , , , … прагне до шуканого кореня рівняння . Обчислення наближених значень коренів рівнянь слід вести доти, поки не буде досягнута заданий ступінь точності. Якщо – точний корінь рівняння , ізольований на відрізку , а – наближене значення кореня, знайдене методом хорд, то оцінка похибки цього наближеного значення: . Рисунок 3.2 – Геометрична інтерпретація методу хорд

Метод Ньютона Функція на кожній ітерації замінюється дотичною до неї в точці . За початкове наближення вибирають той з кінців відрізка , для якого . Найчастіше початкове значення вибирають як або залежно від того, для якої з цих точок виконується вказана умова. Тоді, , . Рисунок 3.3 – Геометрична інтерпретація метода Ньютона Процес уточнення кореня закінчується за умови , де e - допустима похибка визначення кореня. Для оцінки похибки використовують нерівність: .

Методи розв’язання систем нелінійних рівнянь

Метод Ньютона Метод Ньютона ґрунтується на введенні матриці Якобі - матриця перших частинних похідних функцій за змінними причому функції є неперервно диференційованими. Вибирають вектор початкових наближень і розв’язують лінійну систему: , де - вектор, що є розв’язанням системи. Наступне наближення обчислюють за формулою: . Ітераційний процес припиняється, якщо виконується умова для кожного .

Метод Зейделя Початкову систему нелінійних рівнянь замінюють еквівалентною . Корені обчислюють за наступним виразом: Ітераційний процес припиняється за умови , де e - задана точність обчислень.

Завдання для розрахунку

Завдання № 1. Знайти наближене розв’язання нелінійного рівняння методом Ньютона і методом поділу навпіл з точністю до 0,001 засобами пакета MathCAD. Варіанти нелінійних рівнянь наведено у табл. Б.6 додатка Б.

Завдання № 2. Знайти наближене розв’язання системи нелінійних рівнянь методом Ньютона засобами пакета MathCAD. Варіанти системи нелінійних рівнянь наведено у табл. Б.7 додатку Б.