Построение гиперболы

Чтобы построить гиперболу по ее каноническому уравнению, выберем декартову прямоугольную систему координат. Построим в ней основной прямоугольник гиперболы со сторонами, равными 2а и 2b. проведем диагонали этого прямоугольника и продолжим их – полученные прямые будут асимптотами гиперболы. Теперь построим фокусы. Из точки О проведем окружность радиусом r = c = , равным половине диагонали основного прямоугольника. Точки пересечения окружности с осью Ох будут фокусами гиперболы.

Далее строим часть гиперболы в каком-либо квадранте, например в первом. Для этого дадим несколько значений х и определим по формуле соответствующие значения у. Построив найденные точки и соединив их плавной линией, получим половину правой ветви гиперболы. Если произвести зеркальное отображение относительно осей координат, то будем иметь всю гиперболу, состоящую из двух ветвей и расположенную между асимптотами и вне полосы х = а и х = -а.

Гипербола имеет действительную ось, равную 2b, и мнимую, равную 2а. Вершины и фокусы этой гиперболы лежат на оси Оу.

Гиперболы и называются сопряженными, у них одинаковые основные прямоугольники и поэтому общие асимптоты.

Если F₁ = 0, то уравнение (2) принимает вид A(x – x₀)² + C(y – y₀)² = 0. Ему соответствует пара пересекающихся прямых.

Введем обозначения: A = m², C = -n² и запишем уравнение в виде:

m²(x – x₀)² - n²(y – y₀)² = 0 или

(m(x – x₀) - n(y – y₀))(m(x – x₀) + n(y – y₀)) = 0.

Это уравнение равносильно следующим двум:

m(x – x₀) - n(y – y₀) = 0,

m(x – x₀) + n(y – y₀) = 0,

каждое из которых определяет прямую, проходящую через точку М(х₀, у₀).