Построение параболы.

Построим часть параболы, расположенной в верхней полуплоскости, которая выражается уравнением . При р>0 : если , то для у получаем мнимые значения. Парабола расположена вверх от оси Ох, т.е. в положительном направлении оси Оу. у изменяется от 0 до + , х также изменяется от 0 до + . Левая часть параболы получается путем зеркального отображения правой части относительно Оу.

Если Е = 0 и F₁ > 0, то уравнение A(x – x₀)² = =F₁ равносильно уравнениям

,

, которые определяют пару параллельных прямых.

Если Е = 0 и F₁ < 0, то получим также уравнение A(x – x₀)² = F₁, которому соответствует пустое множество.

Если Е = 0 и F₁ = 0, то A(x – x₀)² = 0. Оно определяет пару совпадающих прямых x – x₀ = 0.

Если предположить, что А ≠ 0, С = 0, то уравнение (1) будет иметь вид:

Cy² + Dx + Ey + F = 0.

Аналогично предыдущему можно показать, что при D = 0 это уравнение определяет параболу с осью симметрии, параллельной оси Ох, и может быть приведено к виду x – x₀ = а(y – y₀)².

Если D = 0, то уравнение определяет пару параллельных прямых или пустое множество.

Пример: Привести к каноническому виду уравнение 9х² +4у² –18х + 24у+9 = 0

А=9, В=0, С=4.

Т.к. АС = = 36 > 0, то уравнение определяет фигуру эллиптического типа. Дополнив до полных квадратов, получим

9(х - 1)² + 4(у + 3)² = 36;

.

Эллипс, центр которого в точке О₁(1; -3), а полуоси равны 2 и 3.

х = х΄ + 1

у = у΄ - 3

а² = 4, b² = 9 и а = 2, b = 3, 2а = 4 – малая ось, 2b = 6 – большая.

Полуфокусное расстояние: c² = b² – a² = 9 – 4 = 5; c = .

Координаты фокусов: F₁ = (0; ), F₂ = (0;- )

Эксцентриситет .