Короткі теоретичні відомості. У силовому потенціальному полі на кожну молекулу газу, як на матеріальну точку, діє сила, яка зумовлює її переміщення

У силовому потенціальному полі на кожну молекулу газу, як на матеріальну точку, діє сила, яка зумовлює її переміщення. Будемо вважати, що рух частинки відбувається за законами класичної механіки. Нехай молекула під дією потенціальної сили змінила своє положення вздовж осі на (рис.1.1). Під час переміщення сила не обов’язково повинна бути сталою, тому її робота визначається середнім значенням : , де кут між напрямком дії сили та віссю , складова сили вздовж осі .

Виконана робота чисельно дорівнює зміні потенціальної енергії молекули, але протилежна за знаком , тому .

Для знаходження значення сили у точці перейдемо до нескінченно малого приросту

. (1.1)

Потенціальна енергія молекули змінюється по всіх напрямках, тому границею виразу для є частинна похідна. Аналогічні вирази можна написати і для двох інших напрямків

; .

Тоді вектор сили можемо записати у вигляді

.

У газі, що знаходиться в потенціальному полі, виберемо декартову систему координат і у околі точки з координатами виділимо елемент об’єму , який має форму паралелепіпеда зі сторонами (рис.2). Кількість молекул газу у цьому об’ємі становить ( концентрація молекул). В межах виділеного паралелограма концентрацію молекул можна вважати сталою.

На кожну молекулу у об’ємі діє сила . Проекція на вісь сумарної сили, що дія на всі молекули об’єму , із використанням рівняння (1)

.

Наявність зовнішньої сили призведе до того, що молекули у просторі будуть розміщені неоднорідно, отже створюватимуть у різних точках простору різний тиск . Для осі ця різниця тисків на грані паралелепіпеда, перпендикулярні осі

,

де площа граней.

Виділений елемент об’єму знаходиться у рівновазі, отже, , звідки

.

Аналогічні вирази запишемо і для двох інших координат

; .

Додавши три останні рівняння, отримаємо

, (1.2)

тобто, повний диференціал зміни тиску газу дорівнює добутку концентрації молекул на повний диференціал зміни потенціальної енергії молекули, взятий з протилежним знаком.

Скористаємось основним рівнянням кінетичної теорії газів у вигляді , де – стала Больцмана, – температура газу. За умови теплової і механічної рівноваги можна записати, що . Зіставивши це рівняння із (1.2), отримаємо

.

Таке рівняння із розділеними змінними легко інтегрується

,

де стала інтегрування. Для її знаходження введемо умову, що в точці з координатами потенціальна енергія молекул , а їх концентрація . Тоді , і

. (1.3)

Рівняння (1.3) являє собою формулу Больцмана для розподілу частинок, які перебувають у стані теплового руху у зовнішньому потенціальному полі. Кількість частинок тим більша, чим менша їхня потенціальна енергія (це більш енергетично вигідно), і експоненціально зменшується із збільшенням потенціальної енергії.

Формула розподілу Больцмана (1.3) отримана для довільного потенціального поля. Для поля тяжіння Землі ( – маса молекули, – прискорення вільного падіння, – висота, що відраховується від поверхні Землі), формула (1.3) набуває вигляду

, (1.4).

– концентрація молекул на поверхні Землі.

Стан атмосфери Землі зумовлений одночасною дією гравітаційного поля Землі і тепловим рухом молекул повітря. Під дією сили земного тяжіння молекули повітря могли б впасти на Землю, але тепловий рух запобігає цьому. З іншого боку, хаотичний рух міг би призвести до того, що атмосфера злетить із Землі, але перешкоджає наявність сили тяжіння.

Згідно із розподілом Максвелла молекул за абсолютними значеннями швидкостей кількість молекул, що потрапляє у проміжок швидкостей , визначається як , де – функція розподілу Максвелла за абсолютними значеннями швидкості, яка має фізичний зміст густини імовірності, тобто імовірності потрапляння швидкості молекули у одиничний проміжок швидкостей поблизу заданого значення . Функція розподілу Максвелла за швидкостями визначається як

і має вигляд, зображений на рис.1.3. З нього видно, що лише невелика кількість молекул має дуже велику швидкість для подолання сили земного тяжіння, що і відображає формула Больцмана (1.4).

Із збільшенням температури максимум функції розподілу Максвелла зміщується в бік більших швидкостей, хоча густина імовірності стає меншою, а кількість молекул з великими швидкостями стає більшою. Площа під кривою залежності повинна залишатися сталою, оскільки функція розподілу Максвелла за швидкостями задовольняє умову нормування

.

З фізичної точки зору це означає, що імовірність потрапляння швидкості молекули хоч у якийсь інтервал швидкостей є стовідсотковою.

Слід зазначити, що формула (1.3) має універсальний характер. Вона справедлива не тільки для полів, у яких залежить від координат, але й тоді, коли є функцією інших змінних.

Користуючись формулою (1.4) та вважаючи прискорення вільного падіння сталою величиною, із тангенса кута нахилу залежності можна знайти сталу Больцмана .