Теоретическая часть. Теплоемкостью тела С называется отношение бесконечно малого количества тепла δQ, полученного телом

Теплоемкостью тела С называется отношение бесконечно малого количества тепла δQ, полученного телом, к соответствующему приращению dT его температуры:

. (7.1)

Теплоемкость единицы массы тела называется удельной (ее будем обозначать малой буквой с), теплоемкость одного моля вещества называется молярной (будем обозначать большой буквой С).

Теплоемкость есть характеристика не одного какого-либо состояния системы, а двух ее бесконечно близких состояний, одно из которых начальное, а другое - конечное. Вместо двух бесконечно близких состояний можно задать одно из них и направление перехода системы в бесконечно близкое состояние. Таким образом, теплоемкость не есть функция состояния тела, а является характеристикой бесконечно малого процесса, совершаемого телом.

Согласно первому началу термодинамики:

δQ = dU + pdV, (7.2)

поэтому из (7.1) получаем

(7.3)

Учитывая, что

,

имеем

(7.4)

Отношение может принять любое значение, в зависимости от того, как изменяется давление. Поэтому, чтобы придать выражению (7.4) однозначный смысл, надо фиксировать значение этого отношения. Это значит, надо указать в плоскости VT направление пути, по которому система переходит из одного состояния в другое. Так как это направление может быть любым, то теплоемкость С может принимать любые значения от -∞ до +∞. Например, для изотермического процесса C = ±∞ (dT=0, δQ≠0 ), а для адиабатического процесса С = 0 (δQ = 0).

Особое значение имеют теплоемкости при постоянном объеме (обозначается символом C_V) и постоянном давлении (С_р). Если объем остается постоянным, то dV = 0 и из (7.4) получаем

. (7.5)

Если давление постоянно, то отношение переходит в частную производную и (7.4) дает

(7.6)

Для разности теплоемкости, имеем:

(7.7)

Если применить эту формулу к идеальному газу, и воспользоваться законом Джоуля , а также следствием из уравнения Клапейрона , то получим:

(7.8)

Это соотношение называют уравнением Роберта Майера.

Особое место среди процессов занимает процесс изменения состояния термодинамической системы, происходящий без подвода и отвода тепла. Такой процесс называют адиабатическим. Выясним, как связаны между собой параметры, определяющие состояние идеального газа, когда газ совершает квазистатический адиабатический процесс.

Полагая в уравнение (7.2) δQ = 0, и учитывая (7.5), т.е. dU =C_vdT, запишем C_vdT + PdV = 0.

Из уравнения Клапейрона:

Решая совместно эти уравнения, получим

C_PPdV + C_vVdP = 0.

Введем обозначение

(7.9)

Тогда:

(7.10)

Это дифференциальное уравнение квазистатического адиабатического процесса для идеального газа. Теплоемкости С_P и C_V b общем случае зависят

от температуры. Но в достаточно широком интервале температур они остаются практически постоянными. Следовательно, и их отношение γ можно считать

постоянным. Считая γ постоянной, проинтегрировав (7.10) получаем

(7.11)

Это уравнение называют уравнение Пуассона.

Для экспериментального измерения отношения теплоемкостей γ существуют различные методы. Один из наиболее удобных и точных методов измерения величины, γ основан на измерение скорости звука в газах.

Из курса механики известно, что скорость распространения звука в газах определяется как

, (7.12)

где ρ- плотность газа.

Давление Р зависит не только от ρ, но и от температуры Т, Поэтому необходимо указать, как следует понимать производную . Ньютон предположил, что под следует понимать частную производную .

Это соответствует предположению, что разности температур между сгущениями и разрежениями воздуха в звуковой волне мгновенно выравниваются и распространение звука есть изотермический процесс. Тогда, давление связано с плотностью законом Бойля-Мариотта: ,а формула (7.12) переходит в формулу Ньютона:

, (7.13)

где μ - молекулярный вес газа.

Индекс N указывает на то, что скорость v_N - скорость звука, вычисленная по формуле Ньютона. Однако, значение скорости звука вычисленное по (7.13) и измеренное экспериментально, имеют существенное расхождение.

Это расхождение было устранено Лапласом. Он указал, что колебания плотности и связанные с ним колебания температуры в звуковой волне происходят настолько быстро, а теплопроводность воздуха настолько мала, что для таких процессов теплообмен не играет никакой роли. Иначе говоря, распространение звука можно считать адиабатическим процессом. Следовательно, надо пользоваться не уравнением изотермы, а уравнением адиабаты (7.10). Если в (7.10) вместо объема V ввести плотность , то получим

, (7.14)

откуда

. (7.15)

Поэтому вместо формулы Ньютона (13) получается формула Лапласа:

(7.16)

Величины скорости звука измерены экспериментально и определенные из (16) находятся в очень хорошем соответствии друг с другом. Таким образом, если измерить скорость звука vв исследуемом газе, то величину γ можно

определить как:

, (7.17)

где R = 8,31 Дж/(моль∙К) - универсальная газовая постоянная, Т - температура по шкале Кельвина.