Абсолютная и относительная погрешности прямых измерений

Результат измерения величины Х должен быть представлен в виде: Х = ± DХ, где означает среднее значение измеряемой величины, а DХ – абсолютную погрешность измеряемой величины. Выражение ± DХ указывает доверительный интервал [ – DХ, + DХ], в который попадает истинное значение μ измеряемой величины Х. Кроме того, необходимо задать вероятность α попадания истинного значения μ в указанный доверительный интервал. Среднее значение определяется по формуле:

= , (1.3)

где X_i – значения, полученные в результате отдельных измерений, N – число измерений. Среднее значение , определённое по выборке X₁, X₂, …, X_N даёт лишь оценку истинного среднего значения μ измеряемой величины.

В общую погрешность измерений вносят вклад систематические и случайные погрешности. Если обозначить систематическую погрешность измерения буквой δ, а случайную погрешность – d, то общая погрешность DХ определится по формуле:

. (1.4)

Существует несколько способов определения систематической погрешности:

1) правило половины деления. Если на измерительном приборе не указана погрешность его измерений, то в качестве таковой надо взять половину деления шкалы прибора;

2) определение погрешности по классу точности прибора. На многих приборах обозначен их класс точности, он показывает долю от максимального значения шкалы прибора, выраженную в процентах, которую нужно взять для того чтобы получить значение систематической погрешности;

3) на некоторых приборах систематическая погрешность указана непосредственно.

Допустим, что основной вклад в погрешность измерений даёт случайная погрешность, тогда с помощью методов математической статистики можно уменьшить доверительный интервал для истинного значения измеряемой величины. Для этого нужно провести некоторое количество повторных измерений и рассчитать доверительный интервал по нижеприведённым формулам. Чем больше будет сделано повторных измерений, тем меньше окажется абсолютная погрешность и соответствующий ей доверительный интервал.

Прежде всего, определим дисперсию выборки измеряемой величины Х с помощью формулы:

, (1.5)

где DХ_i – отклонения от среднего результатов единичных измерений DХ_i = Х_i – .

Стандартным отклонением (или среднеквадратичной погрешностью) S_X отдельного измерения величины Х называется квадратный корень из дисперсии:

. (1.6)

Оценка стандартного отклонения среднего значения величины Х (от истинного значения μ) даётся формулой:

. (1.7)

Эта формула показывает, что выборочное стандартное отклонение среднего значения величины Х уменьшается с увеличением числа измерений. Важно уловить разницу между и S_X.

Погрешность измерения величины Х определяется согласно формуле:

DХ = k_α,N× . (1.8)

В этой формуле величина k_α,N называется коэффициентом Стьюдента. Его значение зависит от числа измерений и вероятности попадания истинного значения μ величины Х в доверительный интервал ± DХ. По умолчанию значение вероятности α принимается равным 95 %. Значения коэффициентов Стьюдента в зависимости от вероятности α и числа повторных измерений N приведены в табл. 1.

Таблица 1

Значения коэффициента Стьюдента

Относительная погрешность измерений определяется по формуле:

. (1.9)

Относительная погрешность, выраженная в процентах:

. (1.10)