Работа сил и механическая энергия

За бесконечно малый промежуток времени материальная точка пройдет элементарный путь по траектории и переместиться в пространстве на величину . На этом участке на точку может действовать сила , направленная под некоторым углом к перемещению .

Скалярное произведение вектора силы на вектор перемещения называется элементарной работой силы на бесконечно малом перемещении :

. (1.8)

Если угол , то и работа, совершаемая силой при перемещении точки положительная. Если , то сила действует против направления перемещения, и работа отрицательная. Когда (сила перпендикулярна перемещению), то работа равна нулю, т.е. такая сила работы не совершает.

Подставляя в формулу (1.3) в выражение (1.8), получим

(1.9)

Учитывая, что , преобразуем выражение (1.9)

(1.10)

Проинтегрируем выражение (1.10) и определим работу силы

, (1.11)

Величина носит название кинетической энергии тела.

Кинетической называют энергию движущихся тел. Величина кинетической энергии определяется половиной произведения массы тела на квадрат скорости.

Формулу (1.11) можно переписать следующим образом:

(1.12)

Работа силы на некотором участке пути равна изменению кинетической энергии.

Связь кинетической энергии с импульсом тела(количеством движения):

или . (1.13)

Потенциальная энергия – механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером взаимодействия между ними.

Пусть взаимодействие тел осуществляется посредством силовых полей, характеризующихся тем, что работа, совершаемая действующими силами при перемещении тела из одного положения в другое, не зависит от формы траектории, по которой движется тело. Она определяется только положением начальной и конечной точек траектории движения. Такие поля называются потенциальными, а силы действующие в них консервативными. Работа консервативных сил по замкнутой траектории равна нулю.

Тело, находясь в потенциальном поле сил, обладает потенциальной энергией . Работа консервативных сил при элементарном (бесконечно малом) изменении конфигурации системы равна приращению потенциальной энергии, взятому со знаком минус, так как работа совершается за счет убыли потенциальной энергии:

. (1.14)

Учитывая выражение (1.8), получаем

. (1.15)

Потенциальная энергия может быть определена исходя из (1.15) как

, (1.16)

где С – постоянная интегрирования, т.е. потенциальная энергия определяется с точностью до некоторой произвольной постоянной.

Конкретный вид функции зависит от характера силового поля. Например, потенциальная энергия тела массой , поднятого на высоту над поверхностью Земли, равна

, (1.17)

где высота отсчитывается от нулевого уровня, для которого .

Потенциальная энергия упруго деформированного тела равна

, (1.18)

где – коэффициент упругости, – деформация тела.

В консервативных системах выполняется закон сохранения механической энергии: в системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, полная механическая энергия сохранятся, т.е. не изменяется с течением времени (сумма кинетической и потенциальной энергии тела в любой момент времени остается постоянной):

, (1.19)

где - полная механическая энергия системы.

Существует еще один вид систем – диссипативные системы, в которых механическая энергия (кинетическая энергия и потенциальная энергия) постепенно уменьшается за счет преобразования в другие (немеханические ) формы энергии.

Для диссипативных систем справедлив более общий закон сохранения и превращения энергии: энергия не возникает из ничего и не исчезает бесследно, энергия передается от одних тел к другим и переходит из одной формы в другую в эквивалентных количествах.

Все системы в природе являются диссипативными.

Закон сохранения энергии связан с однородностью времени. Однородность времени проявляется в том, что физические законы инвариантны относительно выбора начала отсчета времени.