ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Ознакомиться с деталями установки и их назначением. Проверить наличие измерительных инструментов. Определить цену деления измерительных приборов.

2. Перед проведением эксперимента измерить длину подвеса от точки подвеса до центра шарика. Определить точность измерительного инструмента для расчета погрешности.

3. Измерить диаметр шарика при помощи штангенциркуля. Измерения производятся в трех взаимно перпендикулярных плоскостях. Данные измерения занести в таблицу 1.

4. Установку включить в сеть, после разрешения преподавателя или лаборанта, при этом переключатель установки П должен быть в положении «0».

5. Привести шарик в контакт с электромагнитом. Зафиксировать начальный угол отклонения подвеса шарика по шкале измерения углов. Значения угла занести в таблицу измерений.

6. Нажать и тут же отпустить кнопку К электромагнита, отключающую его питание. Шарик должен свободно удариться о брус и отскочить от него. Зафиксировать максимальный угол отклонения подвеса шарика после удара и занести его значение в таблицу 1. Эксперимент повторить три раза.

Внимание!При проведении опытов не допускайте повторных ударов шарика о брус. Для этого после замера угла отклонения поймайте шарик и уравновесьте его.

7. Перевести выключатель П в положение «1». Привести шарик в соприкосновение с электромагнитом.

8. Нажать кнопку К и отпустить ее только после удара шарика о брус. По вольтметру зафиксировать разность потенциалов (отклонение стрелки вольтметра в момент удара), соответствующую времени соударения. Измерения произвести три раза. Данные занести в таблицу измерений 1.

9. Перевести выключатель К в положение «2». Привести шарик в соприкосновение с электромагнитом.

10. Нажать кнопку К и отпустить ее только после удара шарика о брус. По вольтметру зафиксировать разность потенциалов (отклонение стрелки вольтметра в момент удара), соответствующую времени свободного движения шарика. Измерения произвести три раза. Данные занести в таблицу измерений 1.

11. Отключить установку от источника питания.

12. Вычислить средние значения измеренных величин, оценить погрешность измерений. Результаты занести в таблицу 1.

13. По формулам и средним значениям измеренных величин рассчитать массу шарика (2.13), скорости шарика перед ударом и после удара (2.9 и 2.10), время свободного движения (2.14) и времени соударения (2.16).

14. По рассчитанным значениям определить величину сил упругости подвеса перед соударением и после него (2.4), среднюю силу удара (2.12). Результаты занести в таблицу 2.

Внимание!Все расчеты в работе производятся в системе единиц «СИ».

Результаты измерений

Таблица 1.

N
Средние значения

Результаты расчетов

Таблица 2.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Основные динамические характеристики поступательного движения.

2. Как формулируются законы динамики Ньютона? В каких системах отсчета выполняются эти законы?

3. Сформулировать закон сохранения импульса. Как учитывается направление движения взаимодействующих тел в законе сохранения импульса?

4. Сформулируйте закон сохранения энергии. Дать определение кинетической и потенциальной энергиям.

5. Сформулировать закон сохранения энергии для консервативной системы. Какая система является консервативной?

6. Сформулировать закон сохранения энергии для диссипативной системы. Какая система является диссипативной?

7. Вывести формулу для определения скорости шарика до и после удара.

Лабораторная работа 3М «ЦЕНТРАЛЬНЫЙ УДАР ШАРОВ» (Г.П. Стариченко, 2008)

В лабораторной работе «Центральный удар шаров» на примере соударения шаров, теоретически изучаются основные законы природы: законы сохранения импульса и энергии.

Экспериментальная проверка закона сохранения импульса позволяет уяснить смысл идеализации физических явлений. Вычисление коэффициента восстановления при ударе дает возможность оценить степень упругости тел, изготовленных из различных материалов и сделать определенные выводы. При подготовке к выполнению и защите лабораторной работы могут быть использованы учебники [4–6].

Цель работы: изучить законы сохранения в механике и измерить коэффициент восстановления при ударе шаров.

Приборы и принадлежности: установка для изучения упругого и неупругого удара шаров; шары; источник тока.

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1.1. Импульс

Для характеристики механического состояния при движении тела вводится физическая величина – импульс (или количество движения).

Импульс – векторная величина, численно равная произведению массы тела на его скорость и имеющая направление, совпадающее с направлением скорости тела:

= m . (1.1)

Согласно второго закона динамики: скорость изменения импульса тела равна по величине действующей силе и совпадает с ней по направлению

или . (1.2)

Таким образом, любое изменение импульса этого тела может происходить только при действии сил.

При рассмотрении системы тел импульс этой системы определяется как векторная сумма импульсов тел, входящих в систему. Для изучения состояния механической системы вводятся понятия внешних и внутренних сил. Силы взаимодействия между телами, входящими в рассматриваемую систему, называются внутренними.

Силы, действующие на систему со стороны тел, не входящих в рассматриваемую систему, называются внешними.

Механические системы, на которые внешние силы не действуют или их действие скомпенсировано, называются замкнутыми(или изолированными).

Для замкнутых систем непосредственно из второго закона динамики вытекает закон сохранения импульса.

Если , то уравнение (1.2) принимает вид:

. (1.3)

Когда производная некоторой величины равна нулю, то эта величина постоянна. Поэтому из уравнения (1.3) следует:

. (1.4)

В замкнутой системе тел суммарный импульс системы остается неизменным–в этом заключается закон сохранения импульса.

Закон сохранения импульса принадлежит к числу основных физических законов, так как связан с определенным свойством симметрии пространства – его однородностью. Однородность пространства проявляется в том, что физические свойства замкнутой системы и законы ее движения не зависят от выбора положения начала координат инерциальной системы отсчета.

1.2. Энергия

Введенное понятие импульса, как некоторая мера механического движения, не во всех случаях пригодна для оценки изменения движения тела или его механического состояния. Существует другая мера движения тела, кроме импульса, особенно необходимая там, где происходит превращение механического движения тела в другие виды движения. Такой мерой движения, пригодной для всех случаев, является физическая величина, называемая энергией.

Энергия–скалярная физическая величина, являющаяся общей мерой различных форм движения материи, рассматриваемых в физике.

Энергия системы количественно характеризует последнюю в отношении возможных в ней превращений движения. Эти превращения происходят благодаря взаимодействию частей системы как друг с другом, так и с внешними телами. Для анализа качественно различных форм движения и соответствующих им взаимодействий в физике вводят различные виды энергии: механическую, внутреннюю, электромагнитную, ядерную и др.

Энергия является важнейшей физической величиной, характеризующей способность тел или системы тел совершать работу и измеряется величиной работы, которую при определенных условиях может совершить система, т. е.

. (1.5)

Одной из разновидностей механической энергии является энергия, обусловленная движением тел и зависящая от скорости движения. Эта энергия получила название кинетической и определяется по формуле

. (1.6)

Другой разновидностью механической энергии является потенциальная энергия Е_п, обусловленная взаимным расположением всех частей системы во внешнем поле потенциальных сил,

.

Единой формулы для вычисления потенциальной энергии нет, выражение для вычисления потенциальной энергии определяется видом взаимодействия.

Работа консервативных (потенциальных) сил всегда равна убыли потенциальной энергии

. (1.7)

Величина Е, равная сумме кинетической и потенциальной энергий, называется полной механической энергией тела.

.

Для замкнутой системы тел, в которой действуют только консервативные силы, полная механическая энергия системы остается неизменной ( ), в этом заключаетсязакон сохранения механической энергии.

Если в системе действуют неконсервативные силы, например, силы трения, то закон сохранения энергии в данной выше форме неприменим. Но его можно обобщить и на случай любых сил, если учесть переход энергии из механической в другой вид, например, во внутреннюю, электрическую и др.

В природе и технике постоянно происходят превращения энергии из одних видов в другие. Все такие переходы происходят с соблюдением закона сохранения энергии. Таким образом, закон сохранения энергии подчеркивает количественную неизменность энергии изолированной системы во времени, в результате изменения формы движения, и выражает однородность времени. Это свойство времени проявляется в том, что законы движения замкнутой системы не зависят от выбора начала отсчета времени. Использование законов сохранения энергии и импульса позволяют решать многие задачи механики, не прибегая непосредственно к уравнениям движения.

1.3. Удар

а) классическая теория удара

Интересные превращения кинетической энергии в потенциальную и обратно наблюдаются при ударе тел. Ударом называется кратковременное взаимодействие тел, при этом оба тела деформируются и возникают ударные силы значительной величины. Процесс соударения можно разделить на две фазы:

1) сближение тел – возникновение деформаций;

2) разлет – исчезновение деформаций (полное или частичное).

Различают два предельных случая: абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары.

При абсолютно упругом ударе на первой фазе кинетическая энергия переходит полностью или частично в потенциальную энергию упругой деформации, на второй фазе тела снова приобретают первоначальную форму, отталкивая друг друга. В итоге потенциальная энергия упругой деформации опять переходит в кинетическую и тела разлетаются. При абсолютно упругом ударе механическая энергия тел не переходит в другие немеханические виды энергии.

Рассмотрим абсолютно упругий удар двух шаров, центры которых движутся вдоль одной прямой. При этом движение вправо будет соответствовать положительной скорости, движение влево – отрицательной.

При абсолютно упругом ударе не выделяется теплота, следовательно, систему из двух взаимодействующих шаров можно считать замкнутой (консервативной). К такой системе можно применить закон сохранения импульса и энергии.

Обозначим массы шаров m₁ и m₂, их скорости до удара и , а после удара и (рис. 1).

Рис. 1. Удар шаров: а – положение до удара; б – положение после удара

Применяем к двум взаимодействующим шарам законы сохранения энергии и импульса:

, (1.8)

. (1.9)

Перенося слагаемые, содержащие m₁ в одну, а m₂ в другую сторону в равенствах (1.8) и (1.9), получаем:

, (1.10)

. (1.11)

Деление равенства (1.10) на (1.11) дает:

. (1.12)

Решая совместно уравнения (1.11) и (1.12), находим значения скоростей U₁ и U₂:

. (1.13)

По этим формулам определяются скорости шаров после удара. Следует помнить, что в формулах (1.13) скорости U₁ и U₂ могут иметь как одинаковые, так и противоположные знаки, в зависимости от направления векторов и . Проведем анализ полученных результатов по формулам (1.12) и (1.13).

1. Преобразуем равенство (1.12) к виду:

или . (1.14)

В левой части равенства (1.14) (V₁–V₂) – есть относительная скорость шаров до удара, в правой (U₁–U₂) – относительная скорость шаров после удара.

Вывод: относительная скорость шаров после удара остается по абсолютной величине равной относительной скорости шаров до удара, но меняет знак на противоположный.

2. Положим m₁ = m₂, тогда из первого равенства (1.13) следует, что
U₁ = V₂ и из второго равенства (1.13) следует U₂ = V₁.

Вывод: при упругом центральном ударе двух шаров одинаковой массы шары обмениваются скоростями.

3. Пусть m₂ > m₁ и V₂ = 0, тогда из равенства (1.13) получим: U₁ = – V₂, а U₂ = 0.

Вывод: при ударе шара о массивную стенку его скорость меняется на противоположную, скорость же стенки практически не изменяется.

Абсолютно упругий удар является идеальным случаем. В реальных случаях в зависимости от того, из какого вещества изготовлены шары, большая или меньшая часть механической энергии переходит в тепло.

Абсолютно неупругий удар характеризуется тем, что потенциальная энергия упругой деформации не возникает, кинетическая энергия тел полностью или частично превращается во внутреннюю энергию, после удара сталкивающиеся тела либо покоятся, либо движутся с одинаковой скоростью.

При таком ударе шары деформируются, скорости их выравниваются, суммарная кинетическая энергия шаров после удара уменьшается по сравнению с первоначальной (до удара), так как часть ее перейдет в другие формы энергии – тепловую энергию пластических деформаций и т.д.

Для этого случая закон сохранения энергии запишется в виде:

. (1.15)

Система из двух шаров в этом случае будет являться диссипативной, так как часть механической энергии теряется, рассеивается и по формуле (1.15) можно определить потерю механической энергии Q, которую называют энергией диссипации.

Скорость шаров после удара можно найти, воспользовавшись законом сохранения импульса:

,

откуда

. (1.16)

При абсолютно неупругом ударе относительная скорость шаров после удара равна нулю: U₁–U₂ = 0, так как U₁ = U₂ = U. При абсолютно упругом ударе она, как известно, равна: U₁–U₂ = – (V₁–V₂). При частично неупругом ударе относительная скорость после удара будет составлять некоторую долю относительной скорости шаров до удара:

U₁ – U₂ = –e (V₁–V₂), (1.17)

где e – коэффициент восстановления относительной скорости шаров при ударе, характеризующий степень упругости взаимодействующих тел и может принимать значения 0 < e < 1.

Из формулы (1.17) определяется величина коэффициента восстановления

; (1.18)

б) волновая теория удара

Классическая теория удара, основывающаяся главным образом на законах сохранения импульса и энергии, позволяет однозначно определить конечные скорости тел. Так как предполагается, что все элементы каждого тела жестко связаны и будут мгновенно испытывать одинаковые изменения движения, являющиеся результатом удара.

В действительности возмущение, порожденное в точке соударения, распространяется в телах с конечной скоростью, и его отражение от граничных поверхностей вызывает колебания и вибрации в телах. Таким образом, все сечения каждого тела при соударении одновременно не подвергаются одинаковому действию сил. Местные быстро изменяющиеся деформации и механические напряжения, вызванные этим возмущением, не могут быть определены методами классической теории, но могут быть исследованы с помощью рассмотрения волнового явления.

Выводы классической теории удара приводят к серьезным ошибкам, когда значительная часть общей энергии обусловливает вибрацию. Этот эффект зависит от соотношения продолжительности удара и периода колебаний, возникающих в телах.

В основе волновой теории удара лежит классическая теория упругости. Уравнения распространения упругих волн получаются в результате совместного рассмотрения трехмерных соотношений между механическими напряжениями и деформациями, условий совместности и уравнений движения.

Соотношения между механическим напряжением и деформацией для однородной изотропной среды записываются следующим образом:

, (1.19)

где – объемное расширение тела; s_i и t_ij – проекции нормальных и касательных напряжений; e_i – относительная деформация растяжения (сжатия); g_ij – проекции деформаций сдвига; – постоянная Ляме; E и G – модули упругости и сдвига соответственно.

Уравнения движения могут быть получены из условия равновесия проекций напряжений, действующих на элементарный объем (dx,dy,dz).

При отсутствии объемных сил в элементе со сторонами dx, dy и dz, условие равновесия сил приводит к выражениям:

, (1.20)

где r – плотность тела; U_i – проекции перемещения (деформации).

Подстановка (1.19) в (1.20) приводит к уравнению движения в перемещениях:

, (1.21)

где – оператор Лапласа.

При ударе тел возникает весьма сложное поле напряжений, изменяющихся не только от точки к точке (как при статической нагрузке), но и в данной точке тела со временем. Поле напряжений еще больше усложняется в результате отражения волн от границ тела.

В силу сказанного математическое описание процесса удара в общем виде оказывается настолько сложным, что выходит за рамки возможностей теории упругости. Решение уравнений (1.21) может быть получено лишь для ограниченного числа специальных случаев. В остальных случаях для решения частных прикладных вопросов теории удара приходится применять упрощения и допущения, которые не вели бы одновременно к ошибкам качественного и количественного характера.

2. МЕТОД РАБОТЫ

Условия соударения – удар центральный, бьет правый шар (отводится и удерживается электромагнитом) по покоящемуся левому.

Теория – классическая. Метод измерения скоростей шаров – баллистический, мерой скорости служит величина угла отброса шаров, отсчитываемая по круговой шкале.

Пренебрегая затуханием колебаний за 1/4 Т (периода колебаний) можно считать, что потенциальная энергия шара в отведенном положении равна его кинетической энергии в положении равновесия:

, (2.1)

откуда

. (2.2)

Из рис. 3 следует или , где b – длина подвеса шарика и h – высота его отклонения от положения равновесия.

Выражаем h:

. (2.3)

Значение h из (2.3) подставляем в (2.2) и получаем:

.

Следовательно, скорость шаров до и после удара может быть определена по углу отклонения от вертикали по формуле

. (2.4)

3. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ

Установка включает в свой состав: основание, вертикальную стой­ку, верхний кронштейн, корпус, электромагнит, нити для подвески металлических шаров, провода для обеспечения электрического кон­такта шаров с клеммами.

Вертикальная стойка выполнена из металлической трубы.

На верхнем кронштейне вертикальной стойки 1, предназначенном для подвески шаров, расположены узлы регулировки 2, обеспечивающие прямой цент­раль­­ный удар шаров, и клеммы.

На корпусе установки закреплена шкала угловых перемеще­ний 3.

Электромагнит 4 предназначен для фиксации исходного положения одного из шаров.

Установка работает от блока электронного ФМ 1/1 5.

4. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Подготовка установки к работе

Для предотвращения опрокидывания установки необходимо располагать ее только на горизонтальной поверхности.

Подключить клеммы верхнего кронштейна и электромагнит уста­новки к блоку электронному БЭ ФМ-1/1 (далее – блок) при помощи кабеля. Вилку с маркировкой «Э» вставить в розетку электромагнита.

Вставить шары в скобы подвеса.

С помощью регулировочных опор выставить основание установки таким образом, чтобы нижние визиры скоб подвеса указывали на нули шкал.

Отрегулировать положение шаров в вертикальной и горизонталь­ной плоскостях до совмещения верхних визиров скоб подвеса. Регули­ровку производить с помощью изменения длины подвеса шаров, а также изменяя положения узлов крепления нитей на верхнем кронштейне.

2. Изучение законов сохранения импульса и энергии при ударе:

1. Определение коэффициентов восстановления скорости и энер­гии для случая упругого удара шаров.

В правую скобу подвеса вставить алюминиевый шар со стальной вставкой, а в левую скобу алюминиевый шар без стальной вставки.

Нажать кнопку «СЕТЬ» блока. При этом должны включиться табло индикации и электромагнит.

На пульте блока нажать кнопку «СБРОС». При этом на табло индикации высветятся нули, на электромагнит подается напряжение.

Отвести правый шар на угол a_бр (примерно четырнадцать градусов) и зафиксировать его с помощью электромагнита. Нажать кнопку «ПУСК». При этом произойдет удар шаров.

При помощи шкал визуально определить углы отскока правого a₁ и левого a₂ шаров. Измерение углов отскока повторить 3 раза.

По мето­дике, приведенной выше, измерить углы отскока для стальных и бронзовых пар шаров.

Рассчитать значение скорости правого и левого шаров до удара, а также V₁ и V₂ после удара по формуле (2.4). Значения скоростей занести в таблицу.

Коэффициент восстановления скорости можно определить по фор­муле (1.18):

,

где V_пр и V_лев – скорости соответственно правого и левого шаров до соударения; V₁ и V₂ – скорости соответственно правого и левого шаров после соударения.

Коэффициент восстановления энергии можно определить по формуле

, (4.1)

где m₁ – масса правого шара; m₂ – масса левого шара; a₁ – угол отскока правого шара; a₂ – угол отскока левого шара; a_бр – угол бросания правого шара.

Примечание: значения масс шаров указаны на установке.

Потерю энергии (энергию диссипации) при частично упругом соударении шаров можно определить по формуле

. (4.2)

Формулы (4.1) и (4.2) вывести самостоятельно.

2. Проверка закона сохранения импульса

Вычислить импульсы правого и левого шаров до удара и после удара. Значения занести в таблицу.

По результатам расчета сделать вывод о выполнении закона сохранения импульса.

3. Определение времени и силы соударения шаров

Вставить стальные шары в скобы подвеса. Нажать кнопку «СЕТЬ» блока. При этом должны включиться табло индикации и электромагнит.

На пульте блока нажать кнопку «СБРОС». При этом на табло индикации высветятся нули, на электромагнит подается напряжение.

Отвести правый шар на угол a_бр (примерно четырнадцать градусов) и зафиксировать его с помощью электромагнита.

Нажать кнопку «ПУСК». При этом произойдет удар шаров. По таймеру блока определить время соударения шаров t (первое появившееся на правом табло значение). Нажать кнопку «СБРОС».

Определить время соударения для других пар шаров по мето­дике, приведенной выше.

Сделать вывод о зависимости времени соуда­рения от механических свойств материалов соударяющихся шаров (таблица).

Используя второй закон Ньютона, определить величину силы соударения каждой пары шаров по формуле

, (4.3)

где V и V^* – скорости до и после удара данной пары шаров.

Таблица

5. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что называется импульсом?

2. Закон сохранения импульса?

3. Что называется энергией?

4. Назовите виды механической энергии.

5. Закон сохранения энергии в механике.

6. Какой удар называется упругим и неупругим?

7. Выведите формулу скоростей шаров после удара для абсолютно упругого удара.

8. Выведите формулу скоростей шаров после удара для абсолютно не упругого удара.

9. Выведите формулу коэффициента восстановления энергии.

10. Что определяет коэффициент восстановления?

11. В чем различие классической и волновой теории удара?

Лабораторная работа 4М «ЗАКОНЫ ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА» (Д.С. Фалеев, Э.В. Фалеева, 2014)

В лабораторной работе рассматриваются основные физические величины, характеризующие динамику вращательного движения твердого тела, – это момент инерции тела и момент силы. Здесь изложены основной закон динамики вращательного движения твердого тела и выражение для кинетической энергии вращательного движения твердого тела, приводятся моменты инерции тел правильной геометрической формы; проводится связь между моментом импульса и моментом инерции тела. При подготовке к выполнению и защите лабораторной работы могут быть использованы учебники [1, 2, 7, 8].

Цель работы: определить момент инерции цилиндров с помощью маятника Обербека.

Приборы и принадлежности: маятник Обербека, набор грузов, секундомер, масштабная линейка, штангенциркуль, четыре одинаковых по массе, форме и размерам цилиндра.