Общее решение неоднородного уравнения

Практикум на ЭВМ

Методические указания к выполнению лабораторной работы №5

ИЗУЧЕНИЕ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ НЕОДНОРОДНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПОРЯДКА N

В ПАКЕТЕ MAPLE»

для студентов направления 510200 «Прикладная математика и информатика»

Томск 2012 г.

УДК 681.3; 517.9

Практикум на ЭВМ.

Методические указания к выполнению лабораторной работы №5 «Изучение методов решение неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами порядка N в пакете MAPLE» для студентов направления 510200 «Прикладная математика и информатика».

Томск: Изд. ТПУ, 2011. –12 с.

Составил: доц., к.т.н. А.В. Козловских

Рецензент: доц., к.т.н. Г.Е. Шевелёв

Методические указания рассмотрены и рекомендованы к изучению методическим семинаром кафедры Прикладной математики.

«____» __________2012 г.

Зав. кафедрой ПМ

проф., д. ф.-м. н. _______________ В.П.Григорьев

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5

ИЗУЧЕНИЕ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ НЕОДНОРОДНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

ПОРЯДКА N в пакете MAPLE

Цель работы:

Освоение методов построения аналитического решения данного типа дифференциальных уравнений (общего решения и задачи Коши) в пакете MAPLE.

Перечень вопросов по теории дифференциальных уравнений, подлежащих предварительному изучению.

1. Определение неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

2. Характеристический полином данного типа уравнений.

3. Фундаментальная система решений и связь входящих в нее функций с корнями характеристического полинома.

4. Построение общего решения неоднородного уравнения. Определитель Вронского.

5. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа).

6. Метод Коши.

7. Метод неопределенных коэффициентов.

8. Решение задачи Коши.

Общее решение неоднородного уравнения

Согласно теории дифференциальных уравнений, для нахождения общего решения неоднородного уравнения, достаточно найти одно какое-нибудь частное решение этого уравнения и прибавить к нему общее решение соответствующего однородного уравнения.

Таким образом, общее решение неоднородного уравнения можно получить после выполнения следующей последовательности вычислений.

1. Записать характеристический полином для заданного уравнения и найти его корни.

2. Построить, в соответствии с найденными корнями характеристического уравнения, фундаментальную систему решений.

3. Одним из способов (метод Лагранжа, метод Коши, метод неопределенных коэффициентов) найти частное решение исходного уравнения.

4. Записать общее решение неоднородного уравнения.

5. Для проверки правильности полученного решения, подставить его в исходное уравнение.

На примере уравнения

(1)

рассмотрим последовательность действий и набор функций пакета MAPLE, необходимых для выполнения пунктов 1-5 первого раздела.

Решение соответствующего однородного уравнения

(2)

дадим без комментариев, т.к. это точное повторение лабораторной работы №4. При реализации каждого из методов пункта 3, кратко рассмотрим суть метода и его реализацию с помощью функций пакета.

Решение этого однородного уравнения будет следующим:

> solve(p^2+4=0,p);

> v1:=array(1..2,[cos(2*x),sin(2*x)]);

> v2:=array(1..2,[d1,d2]);

> z(x)=evalm(v1.v2);

Найдем частное решение , уравнения (1), методом вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа).

Будем искать общее решение неоднородного уравнения в таком же виде, как и общее решение соответствующего однородного, заменяя произвольные постоянные некоторыми непрерывными дифференцируемыми функциями:

(3)

В теории ДУ на накладываются следующие условия: таковы, что выражение (3) является решением неоднородного уравнения; вычисляя последовательно производные (от выражению (3)), всякий раз полагаем равной 0 совокупность членов, содержащих .

Таким образом, для нахождения получим систему уравнений:

(4)

Выражение (4) – алгебраическая неоднородная система уравнений относительно .

Разрешив эту систему и проинтегрировав каждое найденное выражение, получим (в аналитической форме) значения неопределенных коэффициентов в виде:

, (5)

– неопределенная константа.

Подставив (5) в (3) получим общее решение неоднородного уравнения.

Рассмотрим решения системы (4) с помощью пакета.

> y(x):=c1(x)*cos(2*x)+c2(x)*sin(2*x);

> py(x):=diff(y(x),x);

Будем обозначать (для удобства записи выражений) как cpi (например, ® cp1).

> subs(diff(c1(x), x)=cp1,diff(c2(x), x)=cp2,py(x));

В полученном выражении приравняем 0 группу слагаемых, содержащие производные (cpi) и продифференцируем оставшиеся слагаемые:

> p2y(x):=diff(-2*c1(x)*sin(2*x)+2*c2(x)*cos(2*x),x);

> subs(diff(c1(x), x)=cp1,diff(c2(x), x)=cp2,p2y(x));

Для уравнения (1) система (4) имеет вид:

(6)

В пакете её решение получено с помощью функции solve:

> solve({cp1*cos(2*x)+cp2*sin(2*x)=0,-2*cp1*sin(2*x)+2*cp2*cos(2*x)=1/cos(2*x)},{cp1,cp2});

Проинтегрировав найденные производные от коэффициентов, запишем общее решение не однородного уравнения:

> c2(x):=int(1/2/(sin(2*x)^2+cos(2*x)^2),x)+co2;

> c1(x):=int(-1/2*sin(2*x)/(cos(2*x)*(sin(2*x)^2+cos(2*x)^2)),x)+c01;

> y(x) :=simplify( c1(x)*cos(2*x)+c2(x)*sin(2*x));

При этом, общее решение соответствующего однородного уравнения будет:

А частное не однородного:

Сделаем проверку общего решения:

> simplify(diff(y(x),x,x)+4*y(x)=1/cos(2*x));

Найденное решение верно.