Правая часть – периодическая функция

Если правая часть уравнения задана в виде:

где и – полиномы степени N, то частное решение исходного неоднородного уравнения необходимо искать в следующем виде:

где и – полиномы степени N с неизвестными коэффициентами.

В случае если K корней характеристического полинома равны комплексному числу (a+ib) – показателю экспоненты и частоты правой части, то частное решение y₁(x) ищется в виде:

Для определения неизвестных коэффициентов полиномов и подставим в исходное неоднородное уравнение и, приравняв коэффициенты при одинаковых функциях, составим систему алгебраических уравнений по отношению к этим коэффициентам. Решив ее, получим конкретный вид .

В качестве примера рассмотрим решение уравнения (1), где правая часть – периодическая функция:

Запишем частное решение в общем виде:

> yh(x):=x*(a*sin(2*x)+b*cos(2*x));

Подставим его в уравнение:

> simplify(diff(yh(x),x,x)+4*yh(x)=2*sin(2*x));

Запишем и решим систему алгебраических уравнений для неизвестных коэффициентов:

> solve({4*a=0,-4*b=2},{a,b});

Подставим найденные коэффициенты в частное решение:

> subs([a=0,b=-1/2],yh(x));

Проверим полученное решение:

> simplify(diff(-1/2*x*cos(2*x),x,x)+4*(-1/2*x*cos(2*x))=2*sin(2*x));