Метод Коши

Данный метод позволяет построить частное решение неоднородного уравнения , вычислив определенный интеграл от выражения:

по с пределами интегрирования , где найденных из общего решения соответствующего однородного уравнения, при замене коэффициентов на , полученных при решении задачи Коши для:

, (7)

где: n – порядок уравнения.

Рассмотрим решение уравнения (1) методом Коши.

> y1(x):=d1*cos(2*x)+d2*sin(2*x);

>diff(y1(x),x);

Запишем (в соответствии с выражением (7)) и решим систему алгебраических уравнений с заменой X на S:

> solve({d1*cos(2*x)+d2*sin(2*x)=0,-2*d1*sin(2*x)+2*d2*cos(2*x)=1},{d1,d2});

> subs(x=s,%);

Подставив найденные значения для коэффициентов d в частное решение, получим весовую функцию:

> w(x,s):=subs([d2=1/2*cos(2*s)/(sin(2*s)^2+cos(2*s)^2),d1=-1/2*sin(2*s)/(sin(2*s)^2+cos(2*s)^2)],y1(x));

Для нахождения частного решения осталось вычислить определённый интеграл от весовой функции, умноженной на правую часть ДУ, записанной для переменной S. Операция интегрирования одна из самых сложных и пакет не всегда справляется с вычислениями. Тогда вместо результата, на экран просто выводится исходное аналитическое выражение (как показано ниже).

> y2h(x):=int(w(x,s)*1/(2*cos(2*s)),s=0..x);

Иногда удаётся решить проблему, упростив под интегральное выражение с помощью функции simplify. В нашем примере она используется с расширением trig.

> simplify(1/2*(-1/2*sin(2*s)*cos(2*x)/(sin(2*s)^2+cos(2*s)^2)+1/2*cos(2*s)*sin(2*x)/(sin(2*s)^2+cos(2*s)^2))/cos(2*s),trig);

Не смотря на то что интеграл элементарный, пакет не находит решения.

> int(1/4*(-sin(2*s)*cos(2*x)+cos(2*s)*sin(2*x))/cos(2*s),s=0..x);

Вычислив неопределённый интеграл и подставив пределы интегрирования, удалось решить задачу. Этот простой пример показывает, что при работе в пакете, потерпев не удачу при решении задачи в «лоб», практически всегда можно выйти из положения, используя дополнительные функции.

> int(1/4*(-sin(2*s)*cos(2*x)+cos(2*s)*sin(2*x))/cos(2*s),s);

> subs(s=x,%)-subs(s=0,%);

> simplify(%);

Проверка решения.

> siplify(diff((1/8*cos(2*x)*ln(cos(2*x))+1/4*sin(2*x)*x),x,x)+4*(1/8*cos(2*x)*

ln(cos(2*x))+1/4*sin(2*x)*x)=1/(2*cos(2*x)),trig);