Решение логических задач школьного курса повышенной сложности

Лабораторная работа №3

Алгебра логики – раздел математической логики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности), и логические операции над ними. Алгебра логики возникла в середине 19 века в трудах Дж. Буля и развивалась затем в работах Ч. Пирса, П. С. Порецкого, Б. Рассела, Д. Гильберта и др. Создание алгебры логики представляло собой попытку решать традиционные логические задачи алгебраическими методами. С появлением теории множеств (70-е гг. 19 в.) и дальнейшим развитием математической логики (последняя четверть 19 в. — 1-я половина 20 в.), предмет алгебры логики значительно изменился. Основным предметом алгебры логики стали высказывания. Под высказываниемпонимается каждое предложение, относительно которого имеет смысл утверждать, истинно оно или ложно. Примеры высказываний: «кит — животное», «все углы — прямые» и т.п. Первое из этих высказываний является, очевидно, истинным, а второе — ложным. Употребляемые в обычной речи логические связки «и», «или», «если..., то...», «эквивалентно», частица «не» и т. д. позволяют из уже заданных высказываний строить новые, более «сложные» высказывания. Истинность или ложность получаемых таким образом высказываний зависит от истинности и ложности исходных высказываний и соответствующей трактовки связок как операций над высказываниями.

В отличие от обычной алгебры, изучающей математические функции, алгебра логики изучает логические функции. Известно, что функция — это закон соответствия между переменными. Следовательно, логическая функция — это закон соответствия между логическими переменными. Логическая переменная — это такая переменная, которая может принимать одно из двух возможных значений: 0 («ложь») и 1 («истина»).

Логическим выражением называется выражение, о котором можно сказать истинно оно или ложно.

Примеры:

«5>8» - логическое выражение, т.к. о нем можно сказать, что оно ложно.

«Эту девочку зовут Юля» - логическое выражение.

«Подайте книгу» - это не логическое выражение, т.к. о нем нельзя сказать, истинно оно или ложно

Логическая функция может также принимать два значения.

Таким образом, логические переменные и функции определены на множестве двух значений — {0,1}.

ЭВМ строятся из компонентов с двумя устойчивыми состояниями. Одно состояние обозначается нулем, другое — единицей. На такие компоненты воздействуют двоичные сигналы. Под воздействием сигналов компоненты изменяют свои состояния, т. е. состояние компонентов или значения их выходных сигналов зависят от значений воздействующих сигналов. Очевидно, что функционирование компонентов ЭВМ следует описывать логическими функциями. По этой причине алгебра логики находит непосредственное и широкое применение при разработке и использовании средств электронной вычислительной техники.

Логические функции характеризуются (задаются) так называемыми таблицами истинности, или соответствия. Таблица истинности — это таблица, устанавливающая соответствие между возможными наборами значений логических переменных и значениями функций.