Функция отрицания

Отрицание – это логическая функция от одной переменной, которая принимает единичное значение при нулевом значении переменной и наоборот. Запись этой функции:

F = .

Конъюнкция может быть обозначена следующими символами:

,¯, не, not.

Черта над переменной x является признаком отрицания (инверсии). Таблица истинности этой функции представлена на рис. 1а. Функция логического отрицания описывает функционирование логического элемента НЕ (рис. 1б).

Условно-графическое обозначение элемента НЕ приведено на рис. 1в. Единичный сигнал на выходе элемента НЕ появляется при нулевом сигнале на входе (x=0, F=1) и, наоборот, нулевой сигнал на выходе появляется при единичном сигнале на входе (x=1, F=0). Графически отрицание можно представить с помощью кругов Эйлера (рис. 2).

а) б) в)

Рис. 1. Элемент НЕ

Рис. 2. Графическое представление отрицания на множестве

Функция логического умножения (конъюнкция)

Логическое умножение – это логическая функция, по крайней мере, от двух переменных, которая принимает единичное значение при единичных значениях всех переменных. Эта функция называется также конъюнкцией. Элементарная конъюнкция зависит от двух переменных. Она принимает единичное значение только тогда, когда и первая переменная и вторая переменная равны единице. Возможны различные варианты записи конъюнкции:

F= ; F= • ; F= ; F= & .

Конъюнкция может быть обозначена следующими символами:

, &, •, ∩, and, и.

Конъюнкция характеризуется таблицей истинности, представленной на рис. 3а. Из рассмотрения таблицы следует, что эта функция принимает единичное значение на наборе 4. Логическое умножение описывает работу элемента И (рис. 3б). Графически конъюнкцию можно представить с помощью кругов Эйлера (рис. 4).

а) б) в)

		F

Рис. 3. Элемент И

Рис. 4. Графическое представление конъюнкции на множествах

Конъюнкция на числовых множествах (операция пересечения): {a,b,c} {b,c,d,e}={b,c}.

Единичный сигнал появляется на выходе этого элемента только при наличии единичного сигнала и на входе 1, и на входе 2.

В общем случае элемент И может иметь n входов (рис. 3в). При этом он реализует конъюнкцию от n переменных, т.е.:

F= • • •…• .

Функция логического сложения (дизъюнкция)

Логическое сложение – это логическая функция, по крайней мере, от двух переменных, которая принимает нулевое значение при нулевых значениях всех переменных. Эта функция называется также дизъюнкцией. Таблица истинности элементарной дизъюнкции представлена на рис. 3а. Элементарная дизъюнкция принимает единичное значение на наборах 1, 2, 3 и нулевое значение – только на наборе 0. Функция записывается в одном из двух видов: F= или F= + .

Знак «плюс» не является алгебраическим, т.к. при =1, =1 дизъюнкция F= + =1

Дизъюнкция может быть обозначена следующими символами:

, +, , or, или.

Дизъюнкция описывает функционирование элемента ИЛИ (рис. 5б). Единичный сигнал на выходе этого элемента возникает тогда, когда или на входе 1, или на входе 2, или на двух входах единичные сигналы. И только в том случае, когда на оба входа поступают нулевые сигналы, на выходе элементов появляется нулевой сигнал.

В общем случае элемент ИЛИ может иметь n входов (рис. 5в). При этом он реализует дизъюнкцию от n переменных.

а) б) в)

		F

Рис. 5. Элемент ИЛИ

Рис. 6. Графическое представление дизъюнкции на множествах

Дизъюнкция на числовых множествах (операция объединения): {a,b,c} {b,c,d,e}={a,b,c,d,e}.

Равнозначность (эквиваленция)

Равнозначность – это логическая функция от двух переменных, которая принимает единичное значение при одинаковых значениях переменных. Одинаковые по значению переменные называются равнозначными, поэтому функция носит название «равнозначность».

Запись функции:

F= + .

Таблица истинности функции равнозначности представлена на рис. 7а. Эта функция реализуется элементом равнозначности (сравнения), который показан на рис. 7б.

Эквиваленция может быть обозначена следующими символами:

~, , , .

Элемент используется для сравнения двоичных сигналов.

		F

а) б)

Рис. 7. Элемент равнозначности

Логическое следование (импликация)

Обозначение логического следования: F= → .

Высказывание F= → будем считать истинным во всех случаях, кроме случая, когда истинно, а ложно. Таблица истинности представлена на рис. 8.

		F= →

Рис. 8. Элемент импликации

Импликация может быть обозначена следующими символами:→, É, Þ.