Решение логических задач с помощью составления логических выражений

Логические задачи обычно формулируются на естественном языке. В первую очередь их необходимо формализовать, т.е. записать на языке алгебры высказываний. Полученные логические выражения необходимо упростить и проанализировать. Для этого иногда бывает необходимо построить таблицу истинности полученного логического выражения.

При формализации необходимо учитывать следующее соответствие между логическими операциями и правилами русского языка:

• Отрицание – частица «не»;

• Дизъюнкция – союз «или»;

• Конъюнкция – союзы «и», «а», «но», «хотя», «однако»;

• Эквиваленция – слова «в том и только в том случае», «тогда и только тогда» и другие;

• Импликация – слова «если, то».

Рассмотрим пример. В школе-новостройке в каждой из двух аудиторий может находиться либо кабинет информатики, либо кабинет физики. На аудиториях повесили шутливые таблички. На первой аудитории повесили табличку «По крайней мере, в одной из этих аудиторий размещается кабинет информатики», а на второй аудитории – табличку с надписью «Кабинет физики находится в другой аудитории». Проверяющему, который пришел в школу, известно только, что надписи на табличках или обе истинны, либо обе ложны. Помогите проверяющему найти кабинет информатики.

Решение.

Переведем условие на язык логики высказываний. Так как в каждой из аудиторий может находиться кабинет информатики, то пусть:

A – «В первой аудитории находится кабинет информатики»;

B – «Во второй аудитории находится кабинет информатики».

Тогда отрицаниям этих высказываний будут соответствовать:

- Высказывание, содержащееся на табличке первой аудитории, соответствует логическому выражению: X=A B.

- «В первой аудитории находится кабинет физики»,

- «Во второй аудитории находится кабинет физики»,

- Высказывание, содержащееся на табличке второй аудитории, соответствует логическому выражению: Y= .

Содержащееся в условии задачи утверждение о том, что надписи на табличках либо одновременно истинные, либо одновременно ложные, в соответствии с законом исключенного третьего записываются следующим образом: = 1.

Подставим вместо X и Y соответствующие формулы:

=

Упростим сначала первое слагаемое. В соответствии с законом дистрибутивности умножения относительно сложения: = .

В соответствии с законом непротиворечия: = .

Упростим теперь второе слагаемое. В соответствии с законом де Моргана и законом двойного отрицания: = .

В соответствии с законом непротиворечия: .

В результате получаем: .

Полученное логическое выражение оказалось простым и поэтому его можно проанализировать без построения таблицы истинности. Для того чтобы выполнялось равенство , обе логические переменные должны быть равны 1, а соответствующие им высказывания истинны.

Ответ: В первой аудитории находится кабинет физики, а во второй – кабинет информатики.