Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Затухающие колебания. Логарифмический декремент затухания.

Читайте также:
  1. Акустические колебания. Действие шума на человек
  2. Вынужденные колебания.
  3. Вынужденные колебания. Резонанс
  4. Вынужденные колебания. Резонанс
  5. Вынужденные колебания. Резонанс.
  6. Вынужденные колебания. Резонанс.
  7. Вынужденные колебания. Явление резонанса. Резонансные кривые.
  8. Вынужденные электромагнитные колебания.
  9. Вынужденные электромагнитные колебания. Электрический резонанс.
  10. Выявление общей тенденции развития процентных ставок: построение тренда, циклические и сезонные колебания.

В реальном случае на колеблющееся тело действуют силы сопротивления (трения), характер движения изменяется и колебание становится затухающим. При не очень больших амплитудах и частотах эта сила трения пропорциональна скорости и направлена в противоположную сторону движения:

, (15.4.1)

где – коэффициент трения, характеризующий свойства среды оказывать сопротивление.

Тогда уравнение движения, согласно второму закону Ньютона

(15.4.2)

(15.4.2,а)

Обозначим

Тогда

(15.4.2, б)

Подстановка в (15.4.2,б) функции х=eλt приводит к характеристическому уравнению

(15.4.3)

Корни этого уравнения равны

, . (15.4.4)

При не слишком большом затухании (при β<ω0) подкоренное выражение будет отрицательным. Представим его в виде (iω)2, где ω - величина, равная

. (15.4.5)

Тогда корни характеристического уравнения запишутся следующим образом:

, . (15.4.6)

при не слишком сильном затухании общее решение уравнения (15.4.2,б) имеет вид

, (15.4.7)

где А0 - амплитуда колебаний в начальный момент времени.

 
 

На рисунке дан график (15.4.) затухающих колебаний. Пунктирными линиями показаны пределы, в которых находится смещение колеблющейся точки x.

В соответствии с видом функции (15.4.7) движение системы можно рассматривать как гармоническое колебание частоты ω с амплитудой, изменяющейся по закону А(t) = А0eβt.

Скорость затухания колебаний определяется величиной β = b/2m, которую называют коэффициентом затухания. Найдем время τ, за которое амплитуда уменьшается в e раз. По определению eβτ = e‑1, откуда β∙τ = 1. Следовательно, коэффициент затухания обратен по величине тому промежутку времени, за который амплитуда уменьшается в e раз.

Период затухающих колебаний равен

. (15.4.8)

При незначительном сопротивлении среды , период колебаний практически равен T0 = 2π/ω0. С ростом коэффициента затухания период колебаний увеличивается.

Отношение значений амплитуд, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, равно

.

Это отношение называют декрементом затухания, а его логарифм — логарифмическим декрементом затухания:



(15.4.9)

Логарифмический декремент характеризует затухание колебаний за период. Пусть – число колебаний, после которых амплитуда уменьшается в e раз, а - промежуток времени, соответствующий этому уменьшению. Тогда , , и

,

.

Таким образом, – есть величина, обратная числу колебаний, по истечении которых амплитуда спадает в e раз. Например, если это значит, что амплитуда колебаний уменьшается в e раз по истечении 100 колебаний. Зная , можно определить коэффициент трения :

(15.4.10)


Дата добавления: 2015-02-09; просмотров: 11; Нарушение авторских прав


<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Гармонический осциллятор. Пружинный, физический и математический маятники. | Вынужденные колебания.
lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2018 год. (0.015 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты