Гармонический осциллятор. Пружинный, физический и математический маятники.

Пружинный, физический и математический маятники.

Материальную точку, совершающую колебания, называют осциллятором (от английского слова oscillation — колебание).

Таким образом, рассмотренные выше колебания представляют собой частные случаи свободных колебаний гармонического осциллятора:

, (15.3.1)

решение, которого будем записывать в виде:

x(t)= Acos(ω₀t+a),

где A– амплитуда колебаний; ω₀ – собственная частота; величина ω₀t+a–фаза колебания.

Примерами гармонического осциллятора являются пружинный, физический и математический маятники.

1. Пружинный маятник.

Обозначим смещение пружины из положения равновесия x. Тогда сила, возникающая в пружине при выведении шарика из положения равновесия, будет равна

F = -kx.

Эта сила пропорциональна величине смещения и направлена к положению равновесия. В таком случае уравнение движения шарика, согласно второму закону Ньютона, запишется в виде

или

.

Обозначив , перепишем уравнение движения пружинного маятника:

. (15.3.2)

Из уравнения (15.3.2) следует, что движение пружинного маятника описывается линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка.

Решение уравнения (15.3.2) имеет вид

x(t) = A cos (wt+j),

где - частота гармонических колебаний.

Тогда - период колебаний пружинного маятника.

2. Физический маятник

Покажем, что и физический маятник будет совершать гармонические колебания.

В положении равновесия центр инерции маятника (С) находится под точкой подвеса (О) на одной с ней вертикали.

При отклонении маятника от положения равновесия на угол j возникает вращательный момент, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия. Этот момент равен произведению силы тяжести на плечо силы (d):

M = mgd

или

,

где - расстояние между центром инерции и точкой подвеса.

Согласно основному уравнению динамики вращательного движения, вращательный момент равен

M = Ie (15.3.3.)

или

. (15.3.4)

В случае малых колебаний sinj~j и, приравнивая (15.3.3) и (15.3.4), получим уравнение колебаний физического маятника:

или

. (15.3.5)

Введем обозначение

и перепишем уравнение (15.3.5) в виде

. (15.3.6)

Уравнение колебаний физического маятника (15.3.6) представляет собой однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка.

Из теории дифференциальных уравнений известно, что решением уравнения (15.3.6) будет функция вида

j(t) = j₀ cos (wt+a),

т.е. при малых отклонениях от положения равновесия физический маятник совершает гармонические колебания, частота и период которых определяются из следующих соотношений:

;

.

где - приведенная длина физического маятника (на рис. 15.2 приведенная длина соответствует отрезку ОО^/). Точка О^/ на продолжении прямой ОС, отстоящей от точки О подвеса маятника на расстоянии приведенной длины, называется центром качаний физического маятника.

Таким образом, приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника.

3. Математический маятник

Приближенно можно считать математическим маятником небольшой, нетяжелый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити (рис.15.3).

Отклоним маятник от положения равновесия на угол a и предоставим ему возможность совершать колебания.

На маятник в отклоненном состоянии действует возвращающая сила

F_в = -mg sina.

Она направлена по касательной к траектории движения шарика в сторону положения равновесия. Согласно второму закону Ньютона, уравнение движения математического маятника запишется в виде

.

В общем случае решение уравнения сложно.

Рассмотрим случай, когда отклонение маятника от положения равновесия настолько малы, что синус угла можно считать пропорциональным величине угла:

sina ~ a.

Тогда смещение по дуге приближенно можно считать равным смещению вдоль горизонтальной хорды и синус угла a заменить отношением смещения x к длине нити

Тогда

(15.3.7)

Введем обозначение

и подставляя его в уравнение (15.3.7), получим уравнение движения математического маятника:

(15.3.8)

Из вида уравнения (15.3.8) следует, что движение математического маятника описывается линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка.

Из теории дифференциальных уравнений известно, что решением уравнения (15.3.8) является функция вида

x(t) = A sin (wt+y)

или

x(t) = A cos (wt+a),

т.е. математический маятник совершает гармонические колебания с частотой

и периодом

.

Таким образом, период колебаний математического маятника зависит только от ускорения силы тяжести в данном месте Земли и от длины маятника.

Математический маятник представляет собой частный случай физического маятника, где вся масса твердого тела сосредоточена в одной точке, находящейся на постоянном расстоянии от точки вращения.