Вынужденные колебания.

Рассмотрим движение пружинного маятника массой т под действием периодически вынуждающей силы F^/ (рис. 15.5). Пусть вынуждающая сила изменяется со временем по гармоническому закону

.

Тогда уравнение движения запишется следующим образом:

.

Разделим уравнение на m и введем обозначения

, , ,

получим неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка:

, (15.5.1)

где b - коэффициент затухания, - собственная частота колебаний системы.

Как известно из теории дифференциальных уравнений, общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

Общее решение однородного уравнения имеет следующий вид:

, (15.5.2)

,

где А₀ и Y - произвольные постоянные.

Найдем частное (не содержащее произвольных постоянных) решение уравнения в виде

(15.5.3)

и определим значения А и j, при которых данная функция удовлетворяет уравнению (15.5.1).

Найдем производные

; (15.5.4)

. (15.5.5)

Подставим (15.5.3), (15.5.4) и (15.5.5) в уравнение (15.5.1):

Учитывая, что

,

получим:

(15.5.6)

Для того, чтобы уравнение (15.5.6) удовлетворялось при всех значениях t, необходимо, чтобы коэффициенты при sinwt и coswt в левой и правой частях уравнения были одинаковы. Отсюда следуют два уравнения:

; (15.5.7)

. (15.5.8)

Возводя в квадрат и складывая, их друг с другом, получим:

,

. (15.5.9)

Из (15.5.9) следует, что амплитуда вынужденных колебаний пропорциональна амплитуде вынуждающей силы (F₀) и зависит от ее частоты (w).

Из уравнения (15.5.8) найдем сдвиг фаз:

;

, (15.5.10)

т.е. вынужденные колебания сдвинуты по фазе относительно вынуждающей силы, причем величина сдвига фаз j зависит от частоты вынуждающей силы.

Подставляя (15.5.9) и (15.5.10) в уравнение (15.5.3), получим частное решение неоднородного уравнения:

. (15.5.11)

Функция (15.5.11) в сумме с (15.5.2) дает общее решение уравнения (15.5.1), которое описывает поведение системы при вынужденных колебаниях. Слагаемое (15.5.2) играет заметную роль только в начальной стадии процесса, с течением времени из-за экспоненциального множителя е^-βt роль слагаемого (15.5.2) уменьшается и через некоторое время им можно пренебречь, сохраняя в решении слагаемое (15.5.11).

Таким образом, функция (15.5.11) описывает установившиеся вынужденные колебания. Они представляют собой гармонические колебания с частотой, равной частоте вынуждающей силы.

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы (15.5.9) приводит к тому, что при некоторой, определенной для данной системы частоте, амплитуда колебаний достигает максимального значения. Резкое увеличение амплитуд вынужденных колебаний в области, где частота близка к частоте собственных колебаний системы , называется резонансом, а соответствующая частота - резонансной частотой. Чтобы определить резонансную частоту w_рез, нужно найти максимум функции или минимум выражения, стоящего под корнем в знаменателе формулы (15.5.9). Продифференцируем это выражение по w и, приравняв нулю, получим:

. (15.5.12)

Уравнение (15.5.12) имеет три решения:

.

Таким образом, резонансная частота будет определяться по формуле:

.

Подставив это значение частоты в (15.5.9), получим выражение для амплитуды при резонансе:

При w®0 из уравнения (15.5.9) следует, что

,

т.е. при w®0 все кривые приходят к одному и тому же предельному значению . Это значение представляет собой смещение из положения равновесия, которое получает система под действием постоянной величины F. Чем меньше b, тем сильнее изменяется с частотой амплитуда, тем острее получается максимум. При стремлении w®¥ все кривые асимптотически стремятся к нулю, так как при большой частоте сила так быстро изменяет свое направление, что система не успевает заметно сместиться из положения равновесия.