Понятие об игровых моделях

На практике часто приходится сталкиваться с задачами, в ко­торых необходимо принимать решения в условиях неопределен­ности, т.е. возникают ситуации, в которых две (или более) сторо­ны преследуют различные цели, а результаты любого действия каждой из сторон зависят от мероприятий партнера. Такие ситуа­ции, возникающие при игре в шахматы, шашки, домино и т.д., относятся к конфликтным: результат каждого хода игрока зависит от ответного хода противника, цель игры — выигрыш одного из партнеров. В экономике конфликтные ситуации встречается очень часто и имеют многообразный характер. К ним относятся, например, взаимоотношения между поставщиком и потребителем, покупателем и продавцом, банком и клиентом. Во всех этих при­мерах конфликтная ситуация порождается различием интересов партнеров и стремлением каждого из них принимать оптималь­ные решения, которые реализуют поставленные цели в наиболь­шей степени. При этом каждому приходится считаться не только со своими целями, но и с целями партнера, и учитывать неиз­вестные заранее решения, которые эти партнеры будут прини­мать.

Для грамотного решения задач с конфликтными ситуациями необходимы научно обоснованные методы. Такие методы разработаны математической теорией конфликтных ситуаций, которая носит название теория игр.

Ознакомимся с основными понятиями теории игр. Математи­ческая модель конфликтной ситуации называется игрой, стороны, участвующие в конфликте, — игроками, а исход конфликта — выигрышем. Для каждой формализованной игры вводятся правила, т.е. система условий, определяющая: 1) варианты действий игро­ков; 2) объем информации каждого игрока о поведении партне­ров; 3) выигрыш, к которому приводит каждая совокупность дей­ствий. Как правило, выигрыш (или проигрыш) может быть задан количественно; например, можно оценить проигрыш нулем, вы­игрыш — единицей, а ничью — 1/2.

Игра называется парной, если в ней участвуют два игрока, и множественной, если число игроков больше двух. Мы будем рас­сматривать только парные игры. В них участвуют два игрока А и В, интересы которых противоположны, а под игрой будем пони­мать ряд действий со стороны А и В.

Игра называется игрой с нулевой суммой, или антагонистиче­ской, если выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого, т.е. для полного задания игры достаточно указать величину одно­го из них. Если обозначить а — выигрыш одного из игроков, b — выигрыш другого, то для игры с нулевой суммой b = —а, поэтому достаточно рассматривать, например а.

Выбор и осуществление одного из предусмотренных правила­ми действий называется ходом игрока. Ходы могут быть личными и случайными. Личный ход — это сознательный выбор игроком одного из возможных действий (например, ход в шахматной иг­ре). Случайный ход — это случайно выбранное действие (напри­мер, выбор карты из перетасованной колоды). В дальнейшем мы будем рассматривать только личные ходы игроков.

Стратегией игрока называется совокупность правил, опреде­ляющих выбор его действия при каждом личном ходе в зависимо­сти от сложившейся ситуации. Обычно в процессе игры при каж­дом личном ходе игрок делает выбор в зависимости от конкрет­ной ситуации. Однако в принципе, возможно, что все решения приняты игроком заранее (в ответ на любую сложившуюся ситуа­цию). Это означает, что игрок выбрал определенную стратегию, которая может быть задана в виде списка правил или программы. (Так можно осуществить игру с помощью ЭВМ). Игра называется конечной, если у каждого игрока имеется конечное число страте­гий, и бесконечной — в противном случае.

Для того чтобы решить игру, или найти решение игры, следует для каждого игрока выбрать стратегию, которая удовле­творяет условию оптимальности, т.е. один из игроков должен по­думать максимальный выигрыш, когда второй придерживается своей стратегии. В то же время второй игрок должен иметь минимальный проигрыш, если первый придерживается своей стратегии. Такие стратегии называются оптимальными. Оптимальные стратегии должны также удовлетворять условию устойчивости, т.е. любому из игроков должно быть невыгодно отказаться от своей стратегии в этой игре.

Если игра повторяется достаточно много раз, то игроков может интересовать не выигрыш и проигрыш в каждой конкретной пар­тии, а средний выигрыш (проигрыш) во всех партиях

Целью теории игр является определение оптимальной стратегии для каждого игрока. При выборе оптимальной стратегии естест­венно предполагать, что оба игрока ведут себя разумно с точки зрения своих интересов. Важнейшее ограничение теории игр — единственность выигрыша как показателя эффективности, в то время как в большинстве реальных экономических задач имеется более одного показателя эффективности. Кроме того, в экономи­ке, как правило, возникают задачи, в которых интересы партне­ров не обязательно антагонистические. Развитие аппарата теории игр для решения задач со многими участниками, имеющими не­противоречивые интересы, выходит за рамки настоящего пособия.